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2025年八上期中专题20教师版
1．如图，AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交BA的延长线于点F，交AC于点E．求证：
（1）CE=BF．
（2）AB+AC=2CE．
2．如图，在等边中，是的平分线，D为上一点，以为一边且在下方作等边，连接．
(1)求证：；
(2)已知，求点O到之间的距离．
3．如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线，垂足为点，在右侧作等边三角形，连接．
(1)①求证：；
②求的度数；
(2)延长交于点，求证：为的中点．
4．如图，在等边中，D为射线上一点，过D作交射线于点E，点F为边上一点，，过F作，垂足为点H．
(1)求证：；
(2)求证：H为中点．
5．如图，在中，点D为边上一点，为的角平分线，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
6．（1）如图1，在中，，平分，平分，过点作，分别交，于，两点．在不添加辅助线的情况下，请直接写出图1中共有______个等腰三角形：的周长为______；
（2）如图2，在外，，平分，平分的外角，过点作，分别交，于，两点．请猜想线段，，三者之间的数量关系，并对你的猜想给予证明．
7．如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F．求证：．
8．（1）如图1，在中，是它的角平分线，求证：．
（2）如图2，是的外角的平分线，求证：
9．如图，为等腰三角形，，、分别是边、上的点，且满足，连接、交于点．
??
(1)求证：；
(2)求的度数．
10．如图，是的角平分线，，分别是和的高，连接交于点．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，求证：．
11．如图，，点E是的中点，是的平分线．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
12．如图，点在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若点为上一点，平分，则的度数是____．
13．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
14．如图，在中，是中线．
(1)如图（1），延长至点E，使得，连接．
①求证：；
②若，，设，直接写出x的取值范围；
(2)如图（2），延长到点F，使，若，求证：．
15．如图，在四边形中，，，点E为的中点，平分.
(1)求证：；
(2)若，，则四边形的面积为______.（直接写出结果）
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《2025年八上期中专题20教师版》参考答案
1．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）延长CA交FM的平行线BG于G点，利用平行线的性质得到BM=CM、CE=GE，从而证得CE=BF；
（2）利用上题证得的EA=FA、CE=BF，进一步得到AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．
【详解】解：（1）证明：延长CA交FM的平行线BG于G点，
则∠G=∠CAD，∠GBA=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AG=AB，
∵FM∥AD
∴∠F=∠BAD、∠FEA=∠DAC
∵∠BAD=∠DAC，
∴∠F=∠FEA，
∴EA=FA，
∴GE=BF，
∴M为BC边的中点，
∴BM=CM，
∵EM∥GB，
∴CE=GE，
∴CE=BF；
（2）证明：∵EA=FA、CE=BF，
∴AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是正确地构造辅助线，另外题目中还考查了平行线等分线段定理．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由条件结合等边三角形的性质通过“边角边”可证明，可得；
（2）由（1）的结论可知C到的距离和C到的距离相等，可求得C到的距离．
【详解】（1）证明：∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中．
，
∴，
∴；
（2）解：∵是的平分线，是等边三角形，，
∴，，
由（1）可知，
∴，
设O到的距离为h，
则，
∵，
∴，
∴，即点O到的距离为．
3．(1)①见解析；②
(2)见解析
【分析】（1）①由等边三角形的性质的性质可得，，，即可证，可得；②由，得，结合，求解即可；
（2）过点作交的延长线于点，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，，，可证，可得结论；
【详解】（1）①证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵是等
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