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全等三角形知识点总结及复习

全等三角形是平面几何的入门与基石，其概念、性质与判定方法不仅是初中数学的核心内容，也为后续学习更复杂的几何知识奠定了坚实基础。掌握全等三角形，意味着我们能够从图形的重合性出发，精准把握线段相等、角相等的本质，并运用这些关系解决各类几何证明与计算问题。下面，我们将对全等三角形的知识点进行系统性梳理与复习，以期达到融会贯通、灵活运用的目的。

一、全等三角形的概念与性质

（一）全等形与全等三角形的定义

能够完全重合的两个图形叫做全等形。特别地，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。这里的“完全重合”意味着两个三角形的形状、大小完全一致，即对应边长度相等，对应角角度相等。把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

（二）全等三角形的性质

全等三角形的性质是我们进行几何推理和计算的重要依据，其核心可概括为“对应元素相等”：

1.对应边相等：若两个三角形全等，则它们所有的对应边长度都相等。

2.对应角相等：若两个三角形全等，则它们所有的对应角角度都相等。

3.对应边上的中线相等：全等三角形对应边上的中线长度相等。

4.对应边上的高相等：全等三角形对应边上的高长度相等。

5.对应角的角平分线相等：全等三角形对应角的角平分线长度相等。

6.周长相等：由于所有对应边相等，故全等三角形的周长也相等。

7.面积相等：由于全等三角形能够完全重合，故它们的面积也相等。

在运用这些性质时，“对应”二字至关重要。必须明确指出哪些顶点、边、角是对应关系，才能准确得出相等的结论，切不可将非对应元素随意等同。

二、全等三角形的判定方法

判定两个三角形全等，是解决几何问题的关键步骤。我们依据三角形边和角的关系，总结出以下几种基本判定方法：

（一）边边边（SSS）判定定理

内容：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

这是最基本的判定方法，它从三角形稳定性的角度出发，三边确定，则三角形的形状和大小唯一确定。在证明时，需找出两个三角形三边对应相等的关系。

（二）边角边（SAS）判定定理

内容：如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

运用此定理时，务必注意“夹”字。即相等的角必须是两组对应相等边的夹角，而非其中一边的对角。若为两边及其中一边的对角对应相等（即“SSA”），则不能判定两个三角形一定全等（除非该角为直角，此时便成为直角三角形的“HL”判定）。

（三）角边角（ASA）判定定理

内容：如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

“夹边”是指两个角公共的那条边。此定理强调了两角与它们之间那条边的对应相等关系。

（四）角角边（AAS）判定定理

内容：如果两个三角形的两角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

AAS可以看作是ASA的推论。因为三角形内角和为定值，若已知两个角对应相等，则第三个角也必然对应相等，从而可转化为ASA的情况。

（五）斜边、直角边（HL）判定定理（仅适用于直角三角形）

内容：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

HL定理是直角三角形特有的判定方法，它表明对于直角三角形而言，斜边和一条直角边确定了，这个直角三角形的形状和大小也就确定了。在使用时，需先明确指出两个三角形是直角三角形。

重要提示：不存在“角角角（AAA）”和“边边角（SSA，直角三角形除外）”的判定方法。AAA只能判定三角形相似，而SSA则无法唯一确定三角形的形状。

三、全等三角形证明的基本思路与技巧

在进行全等三角形的证明时，通常遵循以下步骤和思路：

1.明确目标：清楚要证明哪两个三角形全等。

2.分析已知条件：找出题目中给出的直接或间接的边、角相等条件。

3.确定判定方法：根据已知的边、角条件，结合图形特点，选择合适的全等判定方法。例如：

*已知两边对应相等：可考虑SSS（找第三边）或SAS（找两边夹角）。

*已知两角对应相等：可考虑ASA（找两角夹边）或AAS（找其中一角的对边）。

*已知一边一角对应相等：可考虑SAS（角为夹角，找另一边）、ASA（角为已知边的邻角，找另一角）或AAS（角为已知边的对角，找另一角）。

*对于直角三角形：优先考虑HL，也可考虑其他一般三角形的判定方法。

4.挖掘隐含条件：注意题目中是否有公共边、公共角、对顶角等隐含的相等关系。

5.辅助线添加：当直接条件不足时，需考虑添加辅助线构造全等三角形。常见的辅助线做法有：

*连接某两点，构造全等三角形。

*延长某线段至某点，使延长部分等于已知线段，构造“中线倍长”模型。

*过某点作已知直线的垂线或平行线，构造直角