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专题二二次函数之动线段差最大问题

在二次函数的动态问题中，涉及线段长度的最值探究一直是中考及各类选拔性考试的热点与难点。其中，“动线段差最大”问题因其对学生几何直观、代数运算及转化思想的综合考查，常常让不少同学感到困惑。本专题将深入剖析此类问题的本质，梳理解题思路，并通过典型例题的解析，帮助同学们掌握解决这类问题的通性通法，提升分析和解决复杂问题的能力。

一、核心知识与原理探究

要解决动线段差最大问题，我们首先需要回顾一个基本的几何事实：三角形两边之差小于第三边。具体来说，对于平面内任意三点A、B、P，总有|PA-PB|≤AB，当且仅当点P在直线AB上，且在线段AB的延长线或反向延长线上时，等号成立，此时|PA-PB|=AB。

这意味着，若要在某条曲线上找到一点P，使得|PA-PB|的值最大，理论上，点P应位于直线AB与该曲线的交点处（需结合图形具体分析是延长线的哪个方向）。因为此时A、B、P三点共线，|PA-PB|达到最大值AB。

二、二次函数背景下的动线段差最大问题

当动点P在二次函数（通常是抛物线）上运动时，我们需要将上述几何原理与二次函数的代数表达式相结合。问题的一般形式为：已知二次函数的解析式，以及两个定点A、B（A、B两点可能都在抛物线外，或一点在抛物线上一点在抛物线外，需注意特殊情况），在抛物线上求一点P，使得|PA-PB|的值最大。

解题的核心思路如下：

1.确定目标：明确是求|PA-PB|的最大值。

2.几何转化：依据“三角形两边之差小于第三边”的推论，认识到当P、A、B三点共线时，|PA-PB|可能取得最大值AB。

3.代数表达：求出直线AB的解析式。

4.求交点：将直线AB的解析式与二次函数的解析式联立，解方程组，得到直线AB与抛物线的交点坐标。

5.判断与验证：根据抛物线的开口方向、顶点位置以及A、B两点的相对位置，判断所求得的交点是否能使|PA-PB|达到最大。有时可能需要比较两个交点（如果直线与抛物线有两个交点）所对应的差值的绝对值大小，或者结合图形分析哪一个交点满足P在AB延长线的特定方向上。

三、典型例题解析

例题：已知二次函数y=-x2+2x+3的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PA-PC|的值最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：

（1）求A、B、C三点坐标：

对于y=-x2+2x+3，

令y=0，则-x2+2x+3=0，即x2-2x-3=0，

解得x?=-1，x?=3。

∵点A在点B左侧，∴A(-1,0)，B(3,0)。

令x=0，则y=3，∴C(0,3)。

（2）探究对称轴上是否存在点P使|PA-PC|最大：

首先，抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=-b/(2a)=-2/(2*(-1))=1。

故点P在直线x=1上，可设P(1,t)。

思路分析：

要使|PA-PC|最大，根据几何原理，我们考虑A、C、P三点共线的情况。若P为直线AC与对称轴x=1的交点，则|PA-PC|是否能达到最大呢？

求出直线AC的解析式：

设直线AC的解析式为y=kx+b。

将A(-1,0)，C(0,3)代入得：

{-k+b=0

{b=3

解得k=3，b=3。

∴直线AC的解析式为y=3x+3。

求直线AC与对称轴x=1的交点P：

当x=1时，y=3*1+3=6。∴交点P的坐标为(1,6)。

验证：

此时，点P(1,6)在直线AC上。根据三角形两边之差小于第三边，对于对称轴x=1上任意异于P的点P，都有|PA-PC|=AC（因为P、A、C共线，且P在AC的延长线上？此处需注意方向）。

我们来验证一下：A(-1,0)，C(0,3)，P(1,6)。

PA的长度：√[(1-(-1))2+(6-0)2]=√(4+36)=√40=2√10。

PC的长度：√[(1-0)2+(6-3)2]=√(1+9)=√10。

PA-PC

而AC的长度为√[(-1-0)2+(0-3)2]=√(1+9)=√10。

可见|PA-PC|=AC。

若在对称轴上取另一点，比如顶点D(1,4)（抛物线顶点坐标可由解析式求得：y=-(x-1)2+4）。

则PA=√[(1+1)2+(4-0)2]=√(4+16)=√20=2√5。

PC=√[(