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高中数学学霸专题测试卷（函数与几何综合）

考试时间：90分钟满分：100分

一、选择题（每题5分，共30分）

已知函数f(x)=\frac{\lnx+1}{e^x}，则函数f(x)的极大值点为（）

A.x=1B.x=\frac{1}{e}C.x=eD.x=0

在三棱锥P-ABC中，PA\perp平面ABC，AB\perpBC，PA=AB=BC=2，则三棱锥外接球的表面积为（）

A.8\piB.12\piC.16\piD.20\pi

已知函数f(x)=x^3-3ax^2+3(a^2-1)x+1，若函数f(x)在区间(1,4)上存在极值点，则实数a的取值范围是（）

A.(0,3)B.(1,4)C.(1,3)D.(0,4)

过抛物线y^2=4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则直线l的斜率为（）

A.\pm\sqrt{3}B.\pm2\sqrt{2}C.\pm\sqrt{2}D.\pm3

已知函数f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega0,|\varphi|\frac{\pi}{2})，其图象相邻两条对称轴之间的距离为\frac{\pi}{2}，且f(x)的图象过点(\frac{\pi}{12},1)，则f(x)的解析式为（）

A.f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})B.f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})

C.f(x)=\sin(4x+\frac{\pi}{3})D.f(x)=\sin(4x+\frac{\pi}{6})

已知函数f(x)=\begin{cases}x^2+2x,x\leq0\\\lnx,x0\end{cases}，若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）

A.(-1,0)B.[0,+\infty)C.(-1,+\infty)D.(-\infty,-1)

二、填空题（每题5分，共20分）

已知向量\vec{a}=(1,2)，\vec{b}=(m,-1)，若\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b})，则m=______。

若直线y=kx+1与圆x^2+y^2+2x-3=0相交于A，B两点，且|AB|=2\sqrt{3}，则k=______。

已知数列\{a_n\}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则数列\{a_n\}的通项公式为a_n=______。

已知函数f(x)=x^3-3x+1，则函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为______，最小值为______。

三、解答题（共50分）

（12分）已知函数f(x)=x^2-2\lnx。

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）求函数f(x)在区间[\frac{1}{e},e]上的最值。

（12分）如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC=BC，D为AB的中点，AA_1=AC=2。

（1）求证：CD\perp平面ABB_1A_1；

（2）求平面CDA_1与平面CBA_1所成锐二面角的余弦值。

（13分）已知椭圆C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(ab0)的离心率为\frac{\sqrt{3}}{2}，且过点(2,1)。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若k_{OM}\cdotk_{ON}=-\frac{1}{4}，求证：\triangleMON的面积为定值。

（13分）已知函数f(x)=e^x-ax-1（e为自然对数的底数）。

（1）若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a的值；

（2）当x\geq0时，f(x)\geq0恒成立，求实数a的取值范围；

（3）求证：\ln(1+\frac{1}{2})+\ln(1+\frac{1}{2^2})+\ln(1+\frac{1}{2^3})+\cdots+\ln(1+\frac{1}{2^n})1（n\inN^*）。

参考答案

一、选择题

A解析：f^\prime(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdote^x-(\lnx+1)e^x}{(e^x)^2}=\frac{1-x(1+\lnx)}{xe^x}，令f^\prime(x)=0，得1-x(1+\lnx)=0，解得x=1。当0