第六专题点估计的优良性.pptVIP

第1页，共29页，星期日，2025年，2月5日点估计的优良性前面学习了四种点估计方法：矩估计、极大似然估计法、贝叶斯估计法和最小二乘法。我们注意到，用这几种点估计方法得到的估计量可能不唯一，那么这里就有一个优劣问题。判断一个估计量的优劣一般有三种标准：一、无偏性二、有效性三、相合性（一致性）第2页，共29页，星期日，2025年，2月5日一、无偏性

定义1设为参数的一个估计量，若，则称为的一个无偏估计量，否则称是有偏的。如果，则称为的渐进无偏估计。第3页，共29页，星期日，2025年，2月5日无偏性是对估计量的最基本要求。其含义为当一个无偏估计量被多次使用时，其估计值在未知参数附近波动，且这些估计值的理论平均值等于该未知参数。第4页，共29页，星期日，2025年，2月5日第5页，共29页，星期日，2025年，2月5日第6页，共29页，星期日，2025年，2月5日第7页，共29页，星期日，2025年，2月5日由以上例题可以看出，无偏估计可以不唯一，需要引进新的评价标准，常用的有有效性。第8页，共29页，星期日，2025年，2月5日二、有效性与有效估计量无偏性只是估计量的一个评价标准，当无偏估计不惟一时，我们应当考虑另外的评价标准，有效性就是其中一个。定义2设总体服从某种分布，为未知参数，是来自总体的样本，若与都是的无偏估计，且对一切，都有，则称比有效。也就是说，在的无偏估计中，方差越小越有效。第9页，共29页，星期日，2025年，2月5日第10页，共29页，星期日，2025年，2月5日第11页，共29页，星期日，2025年，2月5日一个参数的无偏估计的方差可不可以任意少，或者说是否有一个下界？为了回答该问题，我们需要对总体的分布做一些假设。正则性条件：设总体的概率密度函数为，其中参数未知，关于可导，且的取值与的非零区域无关，即与无关。是来自总体的样本。为了将问题一般化，我们考虑的函数的无偏估计量的方差，其中关于可导。第12页，共29页，星期日，2025年，2月5日第13页，共29页，星期日，2025年，2月5日第14页，共29页，星期日，2025年，2月5日第15页，共29页，星期日，2025年，2月5日（**）式称为Rao-Cramer不等式。（劳-克拉美）该不等式给出了参数的无偏估计的方差下界，同时说明参数的无偏估计的方差不可能无限小。第16页，共29页，星期日，2025年，2月5日定义3如果的无偏估计达到了罗-克拉美不等式的下界，即则称T为的有效估计量。其实，罗-克拉美不等式所规定的下界不是整个无偏估计的下界，而是无偏估计类中的一个子集-----正规无偏估计类的方差下限。定义4设T为的一个无偏估计量，称为T的有效率。第17页，共29页，星期日，2025年，2月5日信息量的另一种表示法。性质第18页，共29页，星期日，2025年，2月5日例题讲解P74-75第19页，共29页，星期日，2025年，2月5日第20页，共29页，星期日，2025年，2月5日定理3设总体的概率函数或概率密度函数关于可导，其中为未知参数，且与无关，