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高等代数期末试题及答案
一、单选题（每题1分，共20分）
1.下列哪个矩阵是可逆的？（）
A.\(\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}30\\02\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\)
【答案】B
【解析】矩阵B是可逆的，因为其行列式不为零（3×2-0×0=6≠0）。
2.多项式\(f(x)=x^3-3x+2\)的重根是（）。
A.1B.-1C.2D.0
【答案】1
【解析】f(x)的导数f(x)=3x^2-3，解f(x)=0得x=±1，再代入f(x)验证，x=1是重根。
3.下列向量组中，线性无关的是（）。
A.\(\{(1,0),(2,0)\}\)B.\(\{(1,1),(1,-1)\}\)C.\(\{(1,0),(0,1)\}\)D.\(\{(1,2),(2,4)\}\)
【答案】B
【解析】向量组B的向量不成比例，线性无关。
4.矩阵\(\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)的转置矩阵是（）。
A.\(\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}24\\13\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}31\\42\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}23\\41\end{pmatrix}\)
【答案】A
【解析】转置矩阵是将矩阵的行列互换。
5.下列哪个矩阵是正交矩阵？（）
A.\(\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}01\\-10\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}11\\1-1\end{pmatrix}\)
【答案】C
【解析】C选项矩阵的列向量是单位向量且互相正交。
6.下列哪个是特征值λ=2对应的特征向量？（）
A.\(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\)
【答案】C
【解析】将向量C代入矩阵\(\begin{pmatrix}20\\02\end{pmatrix}\)得2倍的向量，是特征向量。
7.下列哪个是实对称矩阵？（）
A.\(\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1-1\\-11\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}10\\0-1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}12\\23\end{pmatrix}\)
【答案】B
【解析】B选项矩阵满足\(A^T=A\)。
8.下列哪个是二次型\(f(x,y)=x^2+2xy+y^2\)的标准形？（）
A.\(x^2+y^2\)B.\(2x^2-y^2\)C.\(x^2-y^2\)D.\(x^2+y^2+z^2\)
【答案】A
【解析】通过正交变换，二次型可化为标准形。
9.下列哪个是线性空间\(\mathbb{R}^3\)的一个基？（）
A.\(\{(1,0,0),(0,1,0)\}\)B.\(\{(1,0,0),(1,1,0)\}\)C.\(\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\)D.\(\{(1,1,1),(1,2,3)\}\)
【答案】C
【解析】C选项向量组线性无关且生成整个空间。
10.下列哪个是线性变换？（）
A.\(T(x,y)=(x^2,y^2)\)B.\(T(x,y)=(x+y,x-y)\)C.\(T(x,y)=(x,y^3)\)D.\(T(x,y)=(x,y^2)\)
【答案】B
【解析】B选项满足线性变换的性质。
11.下列哪个是欧几里得空间的一个度量？（）
A.\(d(x,y)=|x-y|\)B.\(d(x,y)=\sqrt{x_1y_1+x_2y_2}\)C.\(d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\
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