2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题15函数的旋转问题(4大题型)(学生版+解析).docxVIP

PAGE/NUMPAGES

专题15函数的旋转问题

【题型归纳】

题型一：旋转最大、最小角度问题

题型二：函数具备旋转性质

题型三：取值与求值问题

题型四：求范围问题

【方法技巧总结】

1、若函数逆时针旋转角后所得函数仍是一函数，则可以转化函数的图象与直线均不能有两个或两个以上的交点.

2、在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为

【典型例题】

题型一：旋转最大、最小角度问题

【例1】将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为.

【变式1-1】将函数的图象绕着原点沿逆时针方向旋转角得到曲线，已知曲线始终保持为函数图象，则的最大值为（????）

A． B． C．1 D．

【变式1-2】将曲线绕着点逆时针方向旋转后与轴相切，则的最小正值是（????）

A． B． C． D．

题型二：函数具备旋转性质

【例2】（2025·江西南昌·二模）对于函数，如果存在锐角使得的图象绕坐标原点逆时针旋转角，所得曲线仍是一函数，则称函数具备角的旋转性，下列函数具有角的旋转性的是

A． B． C． D．

【变式2-1】（2025·河南·二模）若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有.（填写所有正确结论的序号）

①；②；③.

【变式2-2】（多选题）在平面直角坐标系xOy中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（????）

A．存在“90°旋转函数”

B．“70°旋转函数”一定是“80°旋转函数”

C．若为“45°旋转函数”，则

D．若为“45°旋转函数”，则

【变式2-3】（多选题）（2025·高三·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（????）

A．，函数都为“旋转函数”

B．若函数为“旋转函数”，则

C．若函数为“旋转函数”，则

D．当或时，函数不是“旋转函数”

题型三：取值与求值问题

【例3】设是含数3的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（????）

A． B．3 C．-3 D．0

【变式3-1】设D是含有数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转90°与原图象重合，则的值一定不可能为（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

【变式3-2】在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕原点按逆时针方向旋转角得到点，再将点绕原点按逆时针方向旋转角得到，…，如此继续下去，得到前10个点，，，…，．若是公差为的等差数列，且点，，，…，在同一函数图像上，则角的取值可以是（????）

A． B． C． D．

【变式3-3】将曲线绕原点顺时针旋转角后第一次与轴相切，则（????）

A． B． C． D．

【变式3-4】（2025·上海青浦·二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为.

题型四：求范围问题

【例4】对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“完美旋转点”．已知函数，若函数的图象存在“完美旋转点”，则实数的取值范围是．

【变式4-1】对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“完美旋转点”.已知函数，若函数的图象存在“完美旋转点”，则实数的取值范围是.

【变式4-2】（2025·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．则旋转函数（填：“是”或者“不是”）；若是旋转函数，则的取值范围是．

【过关测试】

1．双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（????）

①f（x）是奇函数；

②f（x）的图象过点或；

③f（x）的值域是；

④函数y＝f（x）－x有两个零点．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2．设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中的取值只可能是

A． B．1 C． D．0

3．（2025·高三·上海·期中）是定义在上的函数，且，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世