第04讲指数与指数函数（八大题型）（讲义）.docxVIP

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01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：指数及指数运算 4

知识点2：指数函数 5

解题方法总结 6

题型一：指数幂的运算 6

题型二：指数函数的图象及应用 8

题型三：指数函数过定点问题 12

题型四：比较指数式的大小 14

题型五：解指数方程或不等式 16

题型六：指数函数的最值与值域问题 18

题型七：指数函数中的恒成立问题 20

题型八：指数函数的综合问题 24

04真题练习·命题洞见 29

05课本典例·高考素材 31

06易错分析·答题模板 34

答题模板1：指数型复合函数的值域问题 34

答题模板2：指数型复合函数的单调问题 35

考点要求

考题统计

考情分析

（1）指数幂的运算性质

（2）指数函数的图像与性质

2023年新高考I卷第4题，5分

2023年乙卷第4题，5分

2022年甲卷第12题，5分

2020年新高考II卷第11题，5分

从近五年的高考情况来看，指数运算与指数函数是高考的一个重点也是一个基本点，常与幂函数、二次函数、对数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用指数函数的图像与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算素养.

复习目标：

（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.

（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.

（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．

知识点1：指数及指数运算

(1)根式的定义：

(2)根式的性质：

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.

(4)有理数指数幂的分类

(5)有理数指数幂的性质

【诊断自测】化简下列各式：

【答案】0/7

故答案为：（1）0；（2）；（3）7

知识点2：指数函数

图象

性质

④在定义域上是单调减函数

在定义域上是单调增函数

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【答案】或

故答案为：或.

解题方法总结

1、指数函数常用技巧

题型一：指数幂的运算

【方法技巧】

（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.

（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．

【答案】ABD

故选：ABD．

题型二：指数函数的图象及应用

A． B．

C． D．

【答案】C

故选：C．

A． B． C． D．

【答案】C

故选：C

【方法技巧】

【答案】10

在同一坐标系中，作图如下：

故答案为：.

【答案】

故答案为：

【答案】10

故答案为：.

题型三：指数函数过定点问题

【答案】2

故答案为：2.

【方法技巧】

【答案】

故答案为：.

题型四：比较指数式的大小

【答案】D

故选：D.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

故选：C．

【方法技巧】

比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．

【答案】B

故选：B

【答案】D

故选：D

【答案】D

故选：D.

题型五：解指数方程或不等式

【答案】AD

故选：AD

【方法技巧】

【答案】

故答案为：.

【答案】

故答案为：

题型六：指数函数的最值与值域问题

【答案】2或

故答案为：2或

(1)求p的值；

【方法技巧】

指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决.

【答案】或

综上所述，实数的值为或.

故答案为：或.

(1)求，的值；

题型七：指数函数中的恒成立问题

(1)求的值；

【方法技巧】

已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；

（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决．

(1)求，的值；

(1)求实数m和a的值；

题型八：指数函数的综合问题

【方法技巧】

指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．

(1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增；

（3）假设满足题意的，存在，

所以，不存在满足条件的实数，．

【答案】A

故选：A.

A． B． C．1 D．2

【答案】D

故选：D.

【答案】