2025年理学考研量子力学预测试卷（含答案）.docx

2025年理学考研量子力学预测试卷（含答案）

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题（请将正确选项前的字母填在题后的括号内。每小题3分，共15分）

1.下列哪个表述最准确地描述了波函数Ψ(x,t)的物理意义？

(A)粒子在坐标x处出现的概率

(B)粒子在坐标x处出现的概率密度

(C)粒子在坐标x处出现的概率幅的平方

(D)粒子在坐标x处的位置坐标

2.一维定态薛定谔方程为ψ(x)+[V(x)/?2+E/?2]ψ(x)=0。在势能V(x)E的区域，以下哪个结论是正确的？

(A)存在振荡性的解

(B)存在指数衰减或指数增长的解

(C)粒子可以经典地出现在该区域

(D)该区域没有物理上可能的波函数解

3.量子力学中的算符?(d/dx)与坐标算符x的对易关系[?(d/dx),x]是：

(A)?

(B)-?

(C)0

(D)x?

4.根据海森堡不确定性关系，以下哪个组合的测量不确定性具有最小值？

(A)动量p与位置x

(B)总能量E与时间t（系统处于定态）

(C)角动量Lz与角动量Lx

(D)自旋角动量Sz与总自旋角动量S

5.对于一维无限深势阱（0xa），若粒子处于基态（n=1），则粒子在x=a/2处出现的概率密度是：

(A)0

(B)1/2

(C)1

(D)无法确定

二、填空题（请将答案填在题后的横线上。每小题4分，共20分）

6.波函数Ψ(x,t)必须满足的两个基本条件是：______和______。

7.在一维无限深势阱中，若粒子处于n=3的状态，其德布罗意波长λ与基态（n=1）状态的德布罗意波长λ?的比值λ/λ?=______。

8.一个系统的能量E是厄米算符，若系统处于本征态|ψ?，则该本征态满足的方程为______。

9.海森堡不确定性关系可以表示为ΔxΔp≥___________，其中?是约化普朗克常数。

10.设算符A和B满足[A,B]=0，则称A和B是______的。

三、计算题（请写出必要的文字说明、方程式和计算步骤。每小题10分，共30分）

11.一维无限深势阱中（0xa），粒子处于n=2的状态。求在x=a/4处发现该粒子的概率密度，并与在x=a/2处的概率密度进行比较。

12.一维谐振子势V(x)=1/2*mω2x2，其能量本征值E_n=(n+1/2)?ω。求基态（n=0）波函数ψ?(x)的表达式（无需归一化），并计算该态的平均位置?x?。

13.考虑一维定态问题，势能V(x)=-V?sech2(x/a)，其中V?和a是常数。已知该势能具有宇称对称性，且存在一个n=1的束缚态，其波函数在x=0处取极大值。请简要说明该n=1束缚态波函数的形状特征（例如，是奇函数还是偶函数？在x0和x0区域大致如何变化？），并解释为什么它在x=0处取极大值。

四、证明题（请写出详细的证明过程。共15分）

14.证明厄米算符的本征值必定是实数。提示：设|ψ?是厄米算符A的本征态，本征值为实数λ，即A|ψ?=λ|ψ?，考虑内积?φ|A|ψ?和?ψ|A|φ?（其中|φ?是任意态），并利用厄米性[A?=A]。

试卷答案

一、选择题

1.B

2.B

3.C

4.B

5.A

二、填空题

6.单值性，连续性（或渐近为零）

7.1/√3

8.?2/d2ψ/dx2+V(x)ψ=Eψ（或E|ψ?=?2/2m*d2/dx2|ψ?+V(x)|ψ?）

9.?/2

10.对易

三、计算题

11.解：

n=2的波函数ψ?(x)=√(2/a)sin(πx/a)。

概率密度|ψ?(x)|2=2/asin2(πx/a)。

在x=a/4处，|ψ?(a/4)|2=2/asin2(π(a/4)/a)=2/asin2(π/4)=2/a*(1/√2)2=2/a*1/2=1/a。

在x=a/2处，|ψ?(a/2)|2=2/asin2(π(a/2)/a)=2/asin2(π/2)=2/a*12=2/a。

比较可知，在x=