2025年高考数学二轮复习-专题一 函数与导数 第11讲　极值点偏移问题原卷版.docxVIP

第11讲极值点偏移问题（新高考专用）

目录

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【真题自测】 2

【考点突破】 2

【考点一】对称化构造函数 2

【考点二】比值代换 3

【专题精练】 4

考情分析：

极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色．

真题自测

真题自测

一、解答题

1．（2021·全国·高考真题）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

考点突破

考点突破

【考点一】对称化构造函数

一、单选题

1．（2023·四川泸州·二模）已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（????）

A． B．

C． D．

2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

3．（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知，则（????）

A． B．

C． D．

4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（????）

A． B． C． D．

三、填空题

5．（2022·吉林·三模）已知函数的极大值点为0，则实数m的值为；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为．

四、解答题

6．（2023·山东泰安·二模）已知函数，.

(1)当时，讨论方程解的个数；

(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：

（i）；

（ii）.

7．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.

规律方法：

对称化构造函数法构造辅助函数

(1)对结论x1＋x22x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．

(2)对结论x1x2xeq\o\al(2,0)型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),x)))，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1＋lnx22lnx0，再把lnx1，lnx2看成两变量即可．

【考点二】比值代换

一、解答题

1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若有两个零点，，且，求证：．

2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知．

(1)当时，讨论函数的极值点个数；

(2)若存在，，使，求证：．

3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．

(1)当时，判断在区间内的单调性；

(2)若有三个零点，且．

（i）求的取值范围；

（ii）证明：.

4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设，为函数（）的两个零点．

(1)求实数的取值范围；

(2)证明：．

5．（2023·陕西安康·二模）已知函数，（e为自然对数的底数）

(1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值；

(2)若，方程有两个根，（），求证：．

规律方法：

比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝eq\f(x1,x2)化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．

专题精练

专题精练

一、单选题

1．（2023·江西·模拟预测）已知，，，，则（????）

A． B． C． D．

2．（2022·四川成都·一模）已知，且，则下列说法正确的有（????）

①；②；③；??④.

A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④

3．（22-23高三上·河北衡水·期末）已知，则（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

4．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．若恒成立，则

B．当时，的零点只有个

C．若函数有两个不同的零点，则

D．当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是

5．（2023·湖南永州·二模）已知，，，，则有（????）

A． B．

C． D．

6．（2021·山东德州·二模）已知函数，则（????）

A．

B．若有两个不相等的实根、，则

C．

D．若，x，y均为正数，则

7．（2023·河北衡水·一模）直线：与的图象交于、两点，在A?B两点的切线交于，的中点为，则（????）

A． B．点的横坐标大于1

C． D．的斜率大于0

8．（22-23高三·全国·阶段练习）已知函数，，则下列说法正确的是（）

A．在上是增函数

B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为

C．若有两个零点，则

D．若，且，则的最大值为

三、解答题

9．（2024·广东湛江·一模）已知函数．

(1)讨论的