功课高等代数char5矩阵的相合与相似.pptVIP

第5章

第5章矩阵的相合与相似

§5.1欧氏空间

§5.2正交化

§5.3二次型

§5.4实对称方阵相合标准形

§5.5特征向量与相似矩阵

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第5章

第5章矩阵的相合与相似

§5.6正交相似

§5.7更多例子

§5.8若当标准型

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最小二乘法

例1在几何向量组成的3维向量空间v中，用

几何方法定义了内积：

(,)cos

求是否存在向量1,2,3满足条件：

(1,1)(2,2)(3,3)1,(1,2)2,

(1,3)3且(2,3)2？

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解设有1,2,3满足条件，它们在实数域R

上的任意线性组合x1y2z3

含于V，应满足条件(,)0.即

(,)(x1y2z3,x1y2z3)

x2y2z24xy6xz4yz0

配方得

(,)x2y2z24xy6xz4yz0

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(x2y3z)23(yz)2z2

33

选x2,y1,z0,则（，）=-30

矛盾。因此不存在满足所说条件的

1,2,3.机动目录上页下页返回结束

例2（最小二乘法）已知某种材料在生产过程

中的废品率y与某种化学成分的含量百分比x有

关.以下是某工厂在生产过程中实测到的x,y的

一些对应数据.

X(%)3.63.73.83.94.04.14.2

Y(%)1.000.90.90.810.600.560.35

试给出x,y之间函数关系的一个近似公式

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解法1:可以将x,y的函数关系用一次函数

y=kx+b来近似的表示。现在需要确定k,b使直线

与所有点的总的偏差尽可能小，点(xi,yi)的偏差

为kxi+b-yi,则所有偏差的平方和为：

7

2

d(k,b)(kxibyi)

i1

用来度量“总的偏差”，选择k,b使d(k,b)达

到最小值。将d(k,b)展开得

d(k,b)Ak22BkbCb22Dk2EbF

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2

其中Axi106.75,Bxi27.3,C17

i1i1i1

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2

Dxiyi19.675,E