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微分方程的冪級數解法一、一階微分方程問題冪級數解法:將其代入原方程,比較同次冪係數可定常數由此確定的級數①即為定解問題在收斂區間內的解.①設所求解為本質上是待定係數法機動目錄上頁下頁返回結束例1.解:根據初始條件,設所求特解為代入原方程,得比較同次冪係數,得故所求解的冪級數前幾項為機動目錄上頁下頁返回結束二、二階齊次線性微分方程定理.則在－RxR內方程②必有冪級數解:②設P(x),Q(x)在(－R,R)內可展成x的冪級數,(證明略)此定理在數學物理方程及特殊函數中非常有用,很多重要的特殊函數都是根據它從微分方程中得到的.機動目錄上頁下頁返回結束例2.的一個特解.解:設特解為代入原方程整理得比較係數得:可任意取值,因是求特解,故取從而得當n4時,機動目錄上頁下頁返回結束因此注意到:此題的上述特解即為機動目錄上頁下頁返回結束定理目錄上頁下頁返回結束例3.解:求解勒讓德(Legendre)方程展成冪級數,滿足定理條件(因其特點不用具體展開它).設方程的解為代入③:③整理後得:比較係數,得例如:機動目錄上頁下頁返回結束於是得勒讓德方程的通解:上式中兩個級數都在(－1,1)內收斂,可以任意取,它們是方程的兩個線性無關特解.作業P3231(1),(4);2(2)第12節目錄上頁下頁返回結束
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