高考数学一轮复习：球的切、接问题 培优课.pdfVIP

培优课,§7.2球的切、接问题

题型一定义法

例11（）已知NA8C=90。，%_L平面A8C,若B4=A8=BC=1,则四面体力8c的外接球顶（

点都在球面上）的体积为（）

A.冗B.小C.2几D.雪匹

答案D

解析如图，取PC的中点0,连接。A,0B,由题意得附_L8C,

又因为A8_L8C,PAdAB=A,PA,A8U平面附8,

所以4cL平面PAB,

所以BCLPB,

在RtZXPBC中，0B=；PC,

同理OA=1PC,

所以OA=OB=OC=\PC,

因此匕A,B,。四点在以。为球心的球面上，

在中，AC=«AB2+BC2=近

在Rt^BAC中，PC=7陪+AC?=小,

球。的半径/?=，＜=乎，

所以球的体积为2-

延伸探究本例1（）条件不变，则四面体P-ABC的内切球的半径为

1

答案与

解析设四面体P-A8C的内切球半径为匚

由本例1（）知，

S^PAH=^PAAB=^X1X1=1,

5AABC=1/1BBC=1X1X1=1,

SAPBC=]尸88c=2Xy[2XI,

VP-ABC=^^BBCPA

=1X^X1X1XI=1,

52

VpA8C=；S（△以c+S/、/M/?+S/\ABc+SMBC）.广

出乎+舁异冽T，

.g—I

•-2•

2（）在矩形/WCZ）中，8C=4,M为8c的中点，将△4BM和△/）◎/分别沿AM,。加翻折，

使点8与点C重合于点P,若NAPQ=150。，则三棱锥初一附。的外接球的表面积为（）

A.12兀B.347r

C.68兀D.126兀

答案C

解析如图，由题意可知，MPLPA,MPLPD.

且以np=p,以u平面以。，pqu平面出

所以MP_L平面PAD.

设△4/）产的外接圆的半径为r,

An

则由正弦定理可得限而=2’,

4

即sin150。=2-，所以=「4.

设三棱锥M-PAD的外接球的半径为R,

则(27?)2=P”+(2r)2,

即(2R)2=4+64=68,所以4R2=68,

所以外接球的表面积为4花巾=68兀

思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，

找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.

跟踪训练1I（）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱每直于底面，已知该六棱柱的顶点都

在同一个球面上，且该六棱柱的体积端，底面周长为3,则这个球的体积为•

答案y

解析设正六棱柱的底面边长为X,高为儿

悭=3,

则也6X%

x=3，

••

h=小.

・••正六棱柱的底面外接圆的半径r=1,球心到底面的距离4=坐

・•・