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3.2素因数分析
只能被1和它本身整除的正整数叫做素数，素数是数论中最简单、最重要的一类数，许
多问题从正整数的素因数出发分析显得自然、简单、直接.
下面的一些性质在素因数分析处理数论问题时经常用到：
1.最小的素数是2，它也是唯一的偶素数
2.任意一个大于1的正整数的最小正因数是素数.
3.若p为素数，a，b为整数，且p∣ab，则p∣a或p∣b.
4.素数有无穷多个.
例1已知a、b、c是不同的素数，且满足abbc+a=2000，试求a、b、c的值
b43
【解】由题意知a(ac+1)=2000=2×5，所以a=2或a=5
b3
（1）若a=2，则bc=999=3×37，所以b=3，c=37；
（2）若a=5，则bbc=399=3×7×19，无解
所以a=2，b=3,c=37
nnn
例2试问：当n为何正整数时，323能够整除20+16−3−1？
【分析】对于指数为字母的式子，多用同余来研究，但是323本身比较大，直接模323
操作较复杂，利用整除的性质，考虑用323的素因数作模来研究
【解】由于323=17×19，所以当n为偶数时，
nnnnn
20+16−3−1=1+3−3−1≡0(mod19)，
nnnnnn
20+16−3−1≡3+1−3−1≡0(mod17)，
此时323整除20nnn
+16−3−1
当n为奇数时，20nnnnn
+16−3−1≡3−1−3−1≡−20(mod17)，
nnn
所以此时323不整除20+16−3−1
3.2Primefactor
analysis
Apositiveintegerthatcanonlybedividedby1anditselfiscalledaprimenumber.Primenumbersare
thesimptandmostimportanttypeofnumbersinnumbertheory.Itseemsnatural,simpleanddirectto
analyzemanyproblemsstartingfromtheprimefactorsofpositiveintegers.
Thefollowingpropertiesareoftenusedinprimefactoranalysiswhendealing
withnumbertheo
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