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一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设u(x),u(x),,u(x),是定义在IR上
12n
的函数,则u(x)+u(x)++u(x)+
12n
n1
I
称为定义在区间上的(函数项)无穷级数.
例如级数xn1+x+x2+,
n0
2.收敛点与收敛域:
如果xI,数项级数u(x)收敛,
0n0
n1
则称x为级数u(x)的收敛点,
0n否则称为发散点.
n1
函数项级数u(x)的所有收敛点的全体称为收敛域,
n
n1
所有发散点的全体称为发散域.
3.和函数:
s(x)
在收敛域上,函数项级数的和是x的函数,
s(x)
称为函数项级数的和函数.
s(x)u(x)+u(x)++u(x)+(定义域是?)
12n
函数项级数的部分和sn(x),lims(x)s(x)
n
n→
余项r(x)s(x)−s(x)
nn
limr(x)0(x在收敛域上)
n
n→
注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上
是数项级数的收敛问题.
(−1)n1n
例1求级数()的收敛域.
n1n1+x
解由达朗贝尔判别法
un+1(x)n11
→(n→)
u(x)n+11+x1+x
n
1
(1)当1,1+x
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