重难点06：与圆有关的模型 原卷版-A4.docxVIP

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重难点06：与圆有关的模型

题型01四点共圆

1.四点共圆的判定

判定方法

图形

证明过程

若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）.

适用范围：题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆.

到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（圆的定义）

若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.

反证法

若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆.

反证法

同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆.

反证法

共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆.

适用范围：双直角三角形共斜边模型.

连接AO、OD

根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AO=BO=CO=DO

∴点A、B、C、D四点共圆

在⊙O中，若弦AB、CD相交于点P,且AP?DP=BP?CP，则A,B,C,D四点共圆（相交弦定理的逆定理）

在△APB和△CPD中

AP?DP=BP?CP

∠3=∠4

∴△APB∽△CPD∴∠1=∠2

则A、B、C、D四点共圆

在⊙O中，若AB、CD两线段延长后相交于点P,且AP?BP=DP?CP，则A,B,C,D四点共圆（割线定理）

在△APC和△DPB中

AP?BP=CP?DP

∠P=∠P∴△APC∽△DPB

∴∠1=∠3而∠2+∠3=180°

∴∠1+∠2=180°

则A、B、C、D四点共圆

若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理).

【扩展】

托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

证明:过点C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，

∴△ACD∽△BCP.∴ACBC=ADBP，

∵∠1=∠2∴∠1+∠ACP=∠2+∠ACP则∠ACB=∠DCP而∠5=∠6

∴△ACB∽△DCP.∴ACCD=ABDP，

①+②得AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC

2.四点共圆的性质

1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠BAC=∠BDC）；

2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）；

3)圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3）.

1．如图1，是的直径，点在的延长线上，，，是上半部分的一个动点，连接，．

??

(1)当________时，的最大面积为________；

(2)如图2，延长交于点，连接，且．求证：是的切线．

2．如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（??????）

A． B． C． D．4

3．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．

??

(1)证明：；

(2)若，，求的长．

4．如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．

??

（1）用等式表示线段与的数量关系：______；

（2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、．

①在图2中，依据题意补全图形；

②用等式表示线段与的数量关系并证明．

题型02圆幂定理

【模型介绍】相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理.

1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

已知

图形

结论

证明过程

【基础】在⊙O中，弦AB、CD相交于点P

AP?DP=BP?CP

在△APB和△CPD中

∠1=∠2（同弧所对圆周角相等）

∠3=∠4∴△APB∽△CPD

∴APCP=BPDP则AP

【进阶】在⊙O中，OP所在直线与⊙O交于M、N两点，r为⊙O的半径

BP?CP=MP?NP

=(r-OP)(r+OP)

=

同上

2.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.

已知

图形

结论

证明过程

【基础】在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且点P在圆外

AP?BP

=CP?DP

连接AC、BD

通过已知条件证明△APC∽△DPB

∴APDP=CPBP则AP

（请尝试连接AD，BC自行证明）

【进阶】若从圆外一点P引圆的两条割线PAB和PMN，

且割线PMN经过圆心，r为⊙O的半径

AP?BP

=MP?NP

=(OP-r)(OP+r)

=OP2

同上

3.弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数.

已知

图形

结论

证明过程

线段AB切⊙O于点B，线段BC、CD为⊙O的弦

∠1=∠2=12∠

连接OB、OD，则∠4=∠5

∵线段AB切⊙O于点B

∴∠1+∠4=90°

∵∠3+∠4+∠5