第1-2章系统辨识的基本概念和随机过程.pptVIP

2.随机过程的数字特征随机过程的一维数字特征数学期望设P(xi)(i=1,2,…,K)是离散随机过程ξ(t)的取值xi的概率，则其数学期望为：对于连续随机变量X，设f(x)为其概率密度函数，则其数学期望为：它本该在t1时刻求得，但t1是任意的，所以它是时间t的函数。反映了随机过程取值的集中位置（均值）*第93页，共169页，星期日，2025年，2月5日方差：随机过程的二维数字特征自协方差函数用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性自相关函数反映了随机过程的集中程度*第94页，共169页，星期日，2025年，2月5日二者关系为如果B（t1，t2）和R（t1，t2）是衡量同一随机过程不同时刻的相关程度的，称为自协方差函数和自相关函数。如果是两个或多个随机过程，用互协方差函数和互相关函数描述不同随机过程在不同时刻的相关程度。引入时间间隔τ：自相关函数定义：*第95页，共169页，星期日，2025年，2月5日试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差。[例]自相关函数的性质：互相关函数的性质：如果表示两个随机过程是不相关（正交的随机过程）*第96页，共169页，星期日，2025年，2月5日2.3平稳随机过程2.3.1定义对于任意的正整数n和任意实数t1，t2，...，tn，τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足则称ξ(t)为平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义平稳随机过程）.一维概率密度函数二维概率密度函数平稳随机过程的数学期望2.3.2平稳随机过程的特点*第97页，共169页，星期日，2025年，2月5日平稳随机过程的方差平稳随机过程的一维概率密度与时间无关；二维概率密度只与时间间隔τ有关；数学期望和方差均与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔τ有关。推论自相关函数*第98页，共169页，星期日，2025年，2月5日2.3.3广义平稳随机过程定义：若随机过程ξ(t)的数学期望和方差与时间无关，自相关函数仅是τ的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。各态历经性假设是一个平稳随机过程该随机过程统计平均（数学期望）可用时间平均代替*第99页，共169页，星期日，2025年，2月5日该随机过程统计自相关函数可用时间自相关函数代替称该平稳随机过程具有各态历经性（遍历性）。“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。该随机过程的统计方差可用时间方差代替*第100页，共169页，星期日，2025年，2月5日2.4平稳随机过程的相关函数和功率谱密度2.4.1自相关函数的意义平稳随机过程的统计特性（如数字特征等）可通过自相关函数来描述；自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。2.4.2自相关函数主要性质R(0)为ξ(t)的平均功率R(τ)为偶函数R(0)为R(τ)的上界R(∞)为ξ(t)的直流功率R(0)-R(∞)为ξ(t)的交流功率(方差)*第101页，共169页，星期日，2025年，2月5日2.4.3平稳随机过程的频谱特性确定信号f(t)的自相关函数与其功率谱密度之间有确定的傅立叶变换关系。平稳随机过程ξ(t)的自相关函数与其功率谱密度之间也互为傅立叶变换关系。上式也称之为维纳-辛钦定理。*第102页，共169页，星期日，2025年，2月5日2.5高斯过程2.3.1高斯分布概率密度函数及其特点一维高斯分布概率密度函数一维高斯分布概率密度函数的特点对称于均值a;a表示分布中心，σ表示集中程度;；当a=0，σ=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。在(-∞，a)单调上升,(a，∞)单调下降;*第103页，共169页，星期日，2025年，2月5日正态分布函数概率积分函数误差函数(互补误差函数)与概率积分函数的关系误差函数的定义式：互补误差函数：*第104页，共169页，星期日，2025年，2月5日与概率积分函数的关系x≥a(P47)xa*第105页，共169页，星期日，2025年，2月5日2.5.1高斯过程的定义若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1,2,…）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示