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第一章随机事件与概率

在现实生活中，有的过程产生的结果是确定的，例如在标准大气压下水加热到100℃一定会沸腾，到0℃一定会结冰；火箭速度超过第一宇宙速度火箭就会摆脱地球引力而飞出地球，这些都是确定性现象，亦称必然现象。微积分学、线性代数等研究的对象就是“确定性对象

有的过程会产生多种可能的结果，但究竟会出现哪个结果却是不确定的，称这种现象为随机现象。譬如掷一枚硬币，结果有可能正面向上，也可能反面向上，这一结果纯属偶然，是随机现象。有5位数组成彩票的号码，彩票开出某个号码为中奖号码也是随机现象，因为在相同条件下任何一个号码都有可能被选中。记录某网站一分钟内受到的点击次数；在一批灯泡中任取一只，测其寿命；这些结果都不是确定的。

概率论将对随机现象的观察或为观察随机现象而进行的试验称作随机试验。在现实生活中存在大量随机试验的例子，抛掷硬币的过程、工厂生产零件的过程可以看成是在进行随机试验，靠碰运气决定胜负的游戏也是一种随机试验，因为在游戏前并不知道游戏的结果。发射火箭和举办销售活动等也都是随机试验的例子，因为发射火箭是否成功、商品销售的数量都是不确定的。妇女怀孕后生男孩还是女孩，也是不确定的。

虽然随机现象“纯属偶然”，但大量重复相同的试验会发现其结果还是有一定的规律可循，概率论与数理统计正是研究与揭示随机现象的定量规律性的一门数学分支。本章将介绍概率论的一系列最基础的概念，并讨论一些特殊场合下的概率计算问题，使读者对概率有一个初步但又准确的认识，为学习下面的章节打好基础。

§1.1随机事件

1.1.1随机试验与样本空间

概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：

（1）在相同条件下试验是可重复的；

（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；

（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。

为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母。称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母和表示样本点及样本空间。

必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。

经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。

例1.1.1：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间简化为：={正面,反面}。

：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现的点数。样本空间为：。

:掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到

={（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面)}

读者可以将其推广到掷n个硬币，样本空间里有多少样本点呢？

：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目标所进行的射击次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间为

，

其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为。

：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取也许就足够了。在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。因此，样本空间是。□

在大多数应用中可以将样本空间分为三类。

(a)样本空间只可能包含有限个结果。和试验相关的样本空间是有限样本空间。如在投掷一个硬币的实验中只有二个可能的结果，掷一颗骰子，观察出现的点数，只有6种可能的结果。

(b)如上述试验，射手首中目标所需的射击次数，一次销售活动的结果就出售商品的数量而言，可以理想化地认为