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实变函数复习题试卷及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、填空题（每空3分，共15分）

1.若集合A包含于集合B，则集合A的测度m(A)与集合B的测度m(B)之间有m(A)_______m(B)。

2.使函数f(x)=x2在区间[0,1]上黎曼可积的充分必要条件是__________。

3.若函数列{f_n}在X上点态收敛于f，且每个f_n都是可测函数，则函数f一定是__________。

4.勒贝格积分∫_Efdμ存在（f非负）的必要条件是f_______0a.e.于E，其中E是可测集。

5.设f是[0,1]上勒贝格可积函数，则∫_0^1|f(x)|dx=∫_0^1f(x2)dx的充分必要条件是__________。

二、选择题（每题3分，共15分）

1.下列哪个函数在(0,1]上不是勒贝格可测的？

(A)f(x)=sin(1/x)

(B)f(x)=1/(xlnx)

(C)f(x)=0（常数函数）

(D)f(x)=χ_(Q∩(0,1])(Q为有理数集的指示函数)

2.下列哪个命题是正确的？

(A)若f_n→f(a.e.)，则∫|f_n|dμ→∫|f|dμ。

(B)若f_n→f(a.e.)且f_n,f都是可积函数，则∫f_ndμ→∫fdμ。

(C)若f是可积函数，则对任意ε0，存在连续函数g，使得μ({x||f(x)-g(x)|≥ε})ε。

(D)若f_n→f(Lusin意义)，则f_n→f(a.e.)。

3.设E是可测集，μ(E)=5。则下列哪个集合一定不是可测集？

(A)E

(B)E^c（E的补集）

(C)E∪{0}（E与单点集{0}的并集）

(D)E∩[0,1]（E与区间[0,1]的交集）

4.下列哪个定理是错误的？

(A)黎曼可积函数一定是勒贝格可积函数。

(B)勒贝格可积函数的绝对值函数一定是勒贝格可积函数。

(C)若f_n→f(a.e.)且f_n,f都是可积函数，则∫f_ndμ→∫fdμ。

(D)若f_n→f(Lusin意义)，则∫f_ndμ→∫fdμ。

5.设E是可测集，μ(E)=1。若f,g是E上几乎处处相等的可测函数，且f,g都是可积函数，则必有∫_Efdμ=_______。

(A)∫_Egdμ

(B)0

(C)1

(D)±∞

三、计算题（每题8分，共24分）

1.计算勒贝格积分∫_0^1√(1-x2)dx，其中x是[0,1]上的勒贝格可测函数。

2.设f(x)=χ_[0,1/2](x)+χ_(1/2,1](x)，计算∫_0^1f(x)dμ，其中μ是勒贝格测度。

3.设f(x)=x2在[0,1]上，计算∫_0^1f(x)dμ，并写出其黎曼积分形式下的几何意义。

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若函数f在[0,1]上勒贝格可积，则f2也在[0,1]上勒贝格可积，且∫_0^1f2dμ≤(∫_0^1|f|dμ)2。

2.证明：若函数列{f_n}在E上点态收敛于f，且每个f_n都是非负可测函数，则f(x)=sup_nf_n(x)是E上的非负可测函数，且∫_Efdμ=limsup_n∫_Ef_ndμ。

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试卷答案

一、填空题

1.≤

2.f有界且只在一个可测集上无界

3.可测函数

4.≥

5.f(x)=f(-x)a.e.于[0,1]

二、选择题

1.B

2.B

3.D

4.C

5.A

三、计算题

1.解析思路：利用几何意义或换元法计算。几何意义为四分之一单位圆的面积，即∫_0^1√(1-x2)dx=(π/4)。换元法：令x=sinθ，dx=cosθdθ，积分区间θ从0到π/2，原积分变为∫_0^(π/2)cos2θdθ=(∫_0^(π/2)(1+cos2θ)/2dθ)=(π/4)。

答案：(π/4)

2.解析思路：直接计算。f(x)在[0,1/2]上等于1，在(1/2,1]上等于0。所以积分∫_0^1f(x)dμ=∫_0^(1/2)1dμ+∫_(1/2)^10dμ=μ([0,1/2])