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信号与系统z变换题库及答案

单项选择题（每题2分，共10题）

1.序列\(x(n)=a^nu(n)\)的\(Z\)变换\(X(z)\)的收敛域为（）

A.\(|z||a|\)B.\(|z||a|\)C.\(|z|=|a|\)D.全\(z\)平面

答案：A

解析：对于\(x(n)=a^nu(n)\)，\(Z[x(n)]=\sum_{n=0}^{\infty}(a^nz^{-n})=\sum_{n=0}^{\infty}(az^{-1})^n\)，这是一个等比级数，当\(|az^{-1}|1\)即\(|z||a|\)时收敛。

2.\(Z\)变换\(X(z)=\frac{1}{1-az^{-1}}\)，\(|z||a|\)的原序列\(x(n)\)为（）

A.\(a^nu(n)\)B.\(a^nu(-n)\)C.\(-a^nu(-n-1)\)D.\(-a^nu(n)\)

答案：A

解析：根据\(Z\)变换的性质，\(\frac{1}{1-az^{-1}}\)的原序列就是\(a^nu(n)\)。

3.已知\(X(z)=\frac{z}{z-1}\)，\(|z|1\)，则\(x(0)\)为（）

A.0B.1C.-1D.2

答案：B

解析：\(x(0)=\lim_{z\to\infty}X(z)=\lim_{z\to\infty}\frac{z}{z-1}=1\)。

4.\(Z\)变换\(X(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}\)，\(|z|2\)的部分分式展开为（）

A.\(\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}\)B.\(\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}\)C.\(\frac{1}{1-z}-\frac{1}{2-z}\)D.\(\frac{1}{2-z}-\frac{1}{1-z}\)

答案：A

解析：\(\frac{1}{(z-1)(z-2)}=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}\)。

5.序列\(x(n)\)的\(Z\)变换\(X(z)\)在\(z=z_0\)处收敛，则\(X(z)\)在（）也收敛。

A.\(|z||z_0|\)B.\(|z||z_0|\)C.\(z=z_0\)D.不确定

答案：A

解析：\(Z\)变换收敛域是一个以原点为中心的圆环域，\(z=z_0\)处收敛，则\(|z||z_0|\)的区域也收敛。

6.已知\(X(z)=\frac{z^2}{(z-1)(z-0.5)}\)，\(|z|1\)，其逆\(Z\)变换\(x(n)\)为（）

A.\(2^nu(n)-0.5^nu(n)\)B.\(2^nu(n)-0.5^nu(-n-1)\)C.\(2^nu(-n)-0.5^nu(n)\)D.\(2^nu(-n)-0.5^nu(-n-1)\)

答案：A

解析：将\(X(z)\)进行部分分式展开后求逆\(Z\)变换可得\(x(n)=2^nu(n)-0.5^nu(n)\)。

7.\(Z\)变换\(X(z)=\frac{z}{z^2-3z+2}\)，\(|z|2\)的原序列\(x(n)\)为（）

A.\(2^nu(n)-1^nu(n)\)B.\(2^nu(n)-u(n)\)C.\(2^nu(n)\)D.\(2^nu(n)-(-1)^nu(n)\)

答案：B

解析：先对\(X(z)\)进行部分分式展开再求逆\(Z\)变换得到\(x(n)=2^nu(n)-u(n)\)。

8.若\(X(z)\)的收敛域为\(|z|R_1\)，\(Y(z)\)的收敛域为\(|z|R_2\)，且\(R_1R_2\)，则\(X(z)+Y(z)\)的收敛域为（）

A.\(|z|R_1\)B.\(|z|R_2\)C.\(|z|\max(R_1,R_2)\)D.\(|z|\min(R_1,R_2)\)

答案：A

解析：两个\(Z\)变换相加，收敛域取公共部分，这里公共部分是\(|z|R_1\)。

9.序列\(x(n)=na^nu(n)\)的\(Z\)变换\(X(z)\)为（）

A.\(\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}\)，\(|z||a|\)B.\(\frac{az}{(z-a)^2}\)，\(|z||a|\)C.\(\frac{az^{-1}}{(1