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第二章随机信号分析基础习题及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

简述随机过程的概念。它与确定性函数有什么根本区别？

二、

已知随机过程$X(t)$的均值函数为$\mu_X(t)=A\cos(\omega_0t+\theta)$，其中$A$、$\omega_0$、$\theta$均为随机变量，且$\theta$在$[0,2\pi]$上均匀分布。试求$X(t)$的一阶矩（即数学期望）。

三、

定义随机过程$Y(t)=X(t)\cos(\omegat+\Phi)$，其中$X(t)$是均值为零、功率谱密度为$S_X(f)$的宽平稳随机过程，$\omega$为常数，$\Phi$是在$[0,2\pi]$上均匀分布的随机变量，且与$X(t)$独立。证明$Y(t)$也是宽平稳随机过程，并求其自相关函数$R_Y(t_1,t_2)$。

四、

对于随机过程$Z(t)=A\cos(\omegat)+B\sin(\omegat)+N(t)$，其中$A$、$B$是均值为零、方差为$\sigma^2$、互不相关且与$N(t)$独立的随机变量，$N(t)$是均值为零、功率谱密度为$\frac{n_0}{2}$的白噪声过程，$\omega$为常数。求$Z(t)$的自相关函数$R_Z(t_1,t_2)$。

五、

已知随机过程$W(t)=V\cos(\omegat)$，其中$V$是均值为零、方差为$\sigma^2$的随机变量，且$\omega$为常数。判断$W(t)$是否是宽平稳随机过程？如果是，请说明理由并求其自相关函数。如果不是，请说明原因。

六、

证明：如果随机过程$G(t)$是宽平稳的，那么它的自相关函数$R_G(t_1,t_2)$只与时间差$\tau=t_1-t_2$有关，即$R_G(t_1,t_2)=R_G(\tau)$。

七、

解释什么是各态历经过程。一个随机过程满足哪些条件可以被称为是各态历经的？

八、

已知随机过程$U(t)=A\cos(\omegat)$，其中$A$是均值为$\mu_A$、方差为$\sigma_A^2$的随机变量，且$\omega$为常数。假设$U(t)$是各态历经的。求$U(t)$的均值$\langleU(t)\rangle$、方差$\text{Var}(U(t))$、自相关函数$R_U(t_1,t_2)$，并验证其功率谱密度$S_U(f)$与自相关函数的关系。

九、

什么是白噪声？它具有怎样的功率谱密度特性？实际工程中的噪声信号（如电阻热噪声）是否严格是白噪声？为什么？

十、

设$X(t)$是一个零均值宽平稳随机过程，其自相关函数为$R_X(\tau)$，功率谱密度为$S_X(f)$。若$Y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)X(t-\tau)d\tau$，其中$h(t)$是一个实值的、有界且绝对可积的信号。证明$Y(t)$也是宽平稳随机过程，并求其自相关函数$R_Y(t_1,t_2)$与$R_X(\tau)$的关系。

试卷答案

一、

随机过程是依赖于一个（或多个）参数（通常是时间）的随机变量族。对于每一个固定的参数值，随机过程对应一个随机变量；对于每一个样本点（或称实现），随机过程对应一个确定性函数（样本函数）。确定性函数在其定义域内是唯一确定的，而随机过程的样本函数集合是随机取值的，具有不确定性。这种不确定性来源于随机过程内部随机因素的作用或外部随机扰动。

二、

$X(t)$的一阶矩即为其数学期望。由于$\mu_X(t)=A\cos(\omega_0t+\theta)$是随机变量$A$、$\omega_0$、$\theta$的函数，且$\theta$均匀分布于$[0,2\pi]$，其期望为$\mathbb{E}[\theta]=\pi$。

$\mathbb{E}[X(t)]=\mathbb{E}[A\cos(\omega_0t+\theta)]=\mathbb{E}[A]\cos(\omega_0t+\mathbb{E}[\theta])=\mathbb{E}[A]\cos(\omega_0t+\pi)$。

由于题目未说明$A$的期望$\mathbb{E}[A]$，通常假设$\mathbb{E}[A]=0$（如果仅考虑非零均值的波动分量）。

因此，一阶矩（数学期望）为$\mathb