2025-2026学年高一上数学期中复习讲义 第二节：基本不等式的应用技巧 解析版.docxVIP

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第二节基本不等式的应用技巧

【方法技巧】

1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．

(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

2．利用基本不等式求最值

(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).

(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．

常用结论

几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．

(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

应用基本不等式“四”勿忘

=1\*GB3①勿忘“正”：“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数.

=2\*GB3②勿忘“定”：“定”是指用基本不等式时，和或积为定值.

=3\*GB3③勿忘“等”：“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件.

=4\*GB3④勿忘“同”：“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同.

在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．

【题型归纳】

题型一：常见不等式大小比较

题型二：基本不等式求积的最大值

题型三：基本不等式求和的最小值

题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值

题型五：基本不等式‘1’的妙用

题型六：条件等式求最值

题型七：基本不等式恒成立问题

题型八：基本不等式的综合应用

题型九：基本不等式的实际应用

题型十：基本不等式证明不等式

【题型探究】

题型一：常见不等式大小比较

【例1】．（2025·北京·高考真题）已知，则（???）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由基本不等式结合特例即可判断.

【详解】对于A,当时，，故A错误；

对于BD，取，此时，

，故BD错误；

对于C，由基本不等式可得，故C正确.

故选：C.

【跟踪训练1】．（24-25高一上·北京·期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】AD通过分析符号可完成判断；

B由基本不等式可判断选项正误；

C由做差法可判断选项正误.

【详解】对于A，因，则同号，但由题不能判断同为正或同为负，

当为负数时，，则A错误；

对于B，，当且仅当，即时，取等号，故B正确

对于C，，故C错误；

对于D，由A分析，当为负数时，，则D错误；

故选：B

【跟踪训练2】．．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件.

【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得，

等号成立当且仅当，即，此时满足题意.

故选：A.

题型二：基本不等式求积的最大值

【例2】．．（22-23高一上·吉林·阶段练习）已知，则的最大值为.

【答案】/

【分析】利用基本不等式计算即可.

【详解】由知，

当且仅当，即时取得等号，

即的最大值为，

故答案为：

【跟踪训练1】．．（23-24高一上·河北邢台·期中）已知，则的最大值为．

【答案】

【分析】利用基本不等式的变形公式求解可得答案.

【详解】因为，所以，则，

当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．

故答案为：.

【跟踪训练2】．．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的最大值是.

【答案】

【分析】根据结合基本不等式即可得解.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当即时，等号成立.

故答案为：.

题型三：基本不等式求和的最小值

【例3】．．（24-25高一上·河南商丘·期末）若，则的最大值为.

【答案】

【分析】变形得到，由基本不等式求出最值.

【详解】，

，由基本不等式得，

当且仅当，即时，等号成立，

故.

故答案为：

【跟踪训练1】．．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，则的最大值为，当且仅当