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证明：则此迭代过程是m阶收敛的.迭代过程局部收敛于，又第28页，共45页，星期日，2025年，2月5日例9已知迭代公式收敛于证明该迭代公式平方收敛.证:迭代公式相应的迭代函数为将代入，根据定理4可知，此迭代平方收敛.第29页，共45页，星期日，2025年，2月5日牛顿迭代法的收敛性分析定理5设是方程的单根,且f(x)在的某邻域内有连续的二阶导数,则牛顿法是局部收敛的,且至少为二阶收敛,有证:牛顿迭代公式对应的迭代函数为若是方程的单根,则有,从而由定理3知,牛顿迭代法在附近收敛.又由定理4知,迭代公式至少是二阶收敛的.第30页，共45页，星期日，2025年，2月5日第31页，共45页，星期日，2025年，2月5日利用泰勒公式所以法逻辑结构简单，在单根附近时，收敛速度很快；但（1）若初值选取不当，迭代法可能失败或者收敛很慢；（2）若导数比较复杂，则每步的计算量较大；（3）若为方程的重根，结果如何？第32页，共45页，星期日，2025年，2月5日第1页，共45页，星期日，2025年，2月5日012345610.50.6666660.60.6250.6153850.619048789101112130.6176470.6181820.6179780.6180560.6180260.6180370.618033第2页，共45页，星期日，2025年，2月5日记笔记由得表一：由表一知迭代收敛于的根.而由得表二：由表二知迭代是发散的．01234561.51.375211.330681.325851.324931.324751.32473012…1.52.37512.398…1.迭代函数如何构造？2.初值的选取3.误差估计（迭代结束的条件）例用迭代法求方程，在x=1.5附近的一个根第3页，共45页，星期日，2025年，2月5日―――――准确方程校正量，校正值―――――近似方程―――――校正方程－－－－－开方公式忽略高阶小量,令第4页，共45页，星期日，2025年，2月5日§1开方法记笔记k1.4142141.4142141.4142161.4666671.51Xk453210一、公式的建立二、直观解释第5页，共45页，星期日，2025年，2月5日记笔记三、收敛性第6页，共45页，星期日，2025年，2月5日令，则由上式得对任意，总有，所以．定理1开方公式对于任意初值均收敛． 思考题 1．若，开方公式结果如何？ 2．证明对于任意，开方公式所得序列单调减有下界．k012345Xk11.51.4666671.4142161.4142141.414214第7页，共45页，星期日，2025年，2月5日―――――准确方程校正量，校正值―――――近似方程―――――校正方程－－－－－Newton公式令－－－－－迭代函数§2法
一、公式的导出第8页，共45页，星期日，2025年，2月5日二、几何解释Newton法又称为Newton切线法或切线法第9页，共45页，星期日，2025年，2月5日yx0x0f′′(x)0X*yx0x0f′′(x)0yx0f′
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