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(2025)高中数学基本知识点总结

集合与常用逻辑用语

常用逻辑用语部分，命题是可以判断真假的陈述句。其中，判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题。“若$p$，则$q$”形式的命题中，$p$叫做命题的条件，$q$叫做命题的结论。四种命题分别为原命题“若$p$，则$q$”、逆命题“若$q$，则$p$”、否命题“若$\negp$，则$\negq$”、逆否命题“若$\negq$，则$\negp$”。原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。充分条件与必要条件：若$p\Rightarrowq$，则$p$是$q$的充分条件，$q$是$p$的必要条件；若$p\Leftrightarrowq$，则$p$是$q$的充要条件。逻辑联结词有“且”（$\land$）、“或”（$\lor$）、“非”（$\neg$）。含有一个量词的命题的否定：全称命题$p$：$\forallx\inM$，$p(x)$，它的否定$\negp$：$\existsx\inM$，$\negp(x)$；特称命题$p$：$\existsx\inM$，$p(x)$，它的否定$\negp$：$\forallx\inM$，$\negp(x)$。

函数

函数的概念：设$A$，$B$是非空的实数集，如果对于集合$A$中的任意一个数$x$，按照某种确定的对应关系$f$，在集合$B$中都有唯一确定的数$y$和它对应，那么就称$f:A→B$为从集合$A$到集合$B$的一个函数，记作$y=f(x)$，$x\inA$。函数的三要素为定义域、值域和对应关系。求函数定义域时，要考虑分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数大于零等情况。函数的表示方法有解析法、图象法和列表法。

函数的单调性：设函数$f(x)$的定义域为$I$，如果对于定义域$I$内的某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，$x_2$，当$x_1\ltx_2$时，都有$f(x_1)\ltf(x_2)$，那么就说函数$f(x)$在区间$D$上是增函数；当$x_1\ltx_2$时，都有$f(x_1)\gtf(x_2)$，那么就说函数$f(x)$在区间$D$上是减函数。函数的奇偶性：设函数$f(x)$的定义域关于原点对称，如果对于定义域内的任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做偶函数；如果对于定义域内的任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做奇函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于$y$轴对称。

基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。幂函数的一般形式为$y=x^α$（$α$为常数），当$α\gt0$时，函数在$(0,+∞)$上单调递增；当$α\lt0$时，函数在$(0,+∞)$上单调递减。指数函数的一般形式为$y=a^x$（$a\gt0$且$a≠1$），当$a\gt1$时，函数在$R$上单调递增；当$0\lta\lt1$时，函数在$R$上单调递减。对数函数的一般形式为$y=\log_ax$（$a\gt0$且$a≠1$），当$a\gt1$时，函数在$(0,+∞)$上单调递增；当$0\lta\lt1$时，函数在$(0,+∞)$上单调递减。对数的运算性质有$\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$，$\log_aM^n=n\log_aM$（$a\gt0$且$a≠1$，$M\gt0$，$N\gt0$）。

函数的零点：对于函数$y=f(x)$，使$f(x)=0$的实数$x$叫做函数$y=f(x)$的零点。函数$y=f(x)$的零点就是方程$f(x)=0$的实数根，也就是函数$y=f(x)$的图象与$x$轴交点的横坐标。零点存在定理：如果函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是连续不断的一条曲线，并且有$f(a)\cdotf(b)\lt0$，那么函数$y=f(x)$在区间$(a,b)$内有零点。

导数及其应用

常见函数的导数公式：$(C)^\prime=0$（$C$为常数），$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$（$n\inQ$），$(\sinx)^\prime=\cosx$，$(\cosx)^\prime=-\sinx$，$(a^x)^\prime=a^x\lna$，$(e^x)^\prime=e^x$，$(\log_ax)^\prime=\frac{1}{x\lna}$，$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$。导数的运算法则：$[u(x)\pmv(x)]^\pr