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极限与连续试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处连续的是（）

A.f(x)=\frac{1}{x}B.f(x)=\begin{cases}x^2x\neq0\\1x=0\end{cases}C.f(x)=\begin{cases}\sinxx\neq0\\2x=0\end{cases}D.f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x}x\neq0\\0x=0\end{cases}

【答案】D

【解析】f(x)=\frac{1}{x}在x=0处无定义，不连续；f(x)=\begin{cases}x^2x\neq0\\1x=0\end{cases}在x=0处不连续，因为\lim_{x\to0}x^2=0\neq1；f(x)=\begin{cases}\sinxx\neq0\\2x=0\end{cases}在x=0处不连续，因为\lim_{x\to0}\sinx=0\neq2；f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x}x\neq0\\0x=0\end{cases}在x=0处连续，因为\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1=f(0)。

2.若\lim_{x\toa}f(x)=A，则下列说法正确的是（）

A.f(x)在x=a处一定有定义B.f(x)在x=a处一定连续

C.\lim_{x\toa}f(x)\neqAD.\lim_{x\toa}|f(x)|=|A|

【答案】D

【解析】\lim_{x\toa}f(x)=A\Rightarrow\lim_{x\toa}|f(x)|=|A|，其他选项均不正确。

3.下列极限中，正确的是（）

A.\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1B.\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1

C.\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x}=0D.\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cosx}{x^2}=0

【答案】A

【解析】\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1；\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0；\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x}=0；\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}。

4.函数f(x)=\sqrt{4-x^2}的定义域是（）

A.(-2,2)B.[-2,2]C.(-\infty,-2)\cup(2,\infty)D.R

【答案】B

【解析】4-x^2\geq0\Rightarrowx\in[-2,2]。

5.函数f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处（）

A.有定义B.极限存在C.连续D.以上都不对

【答案】B

【解析】\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2，但f(1)无定义，故不连续。

6.若函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=1，则\lim_{x\to0}f(x)的值是（）

A.0B.1C.任意实数D.不存在

【答案】B

【解析】根据连续性定义，\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=1。

7.下列函数中，在x=0处间断的是（）

A.f(x)=\frac{\sinx}{x}B.f(x)=\begin{cases}xx\neq0\\1x=0\end{cases}

C.f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}x\neq0\\0x=0\end{cases}D.f(x)=\begin{cases}x^2x\neq0\\0x=0\end{cases}

【答案】C

【解析】f(x)=\frac{1}{x}在x=0处无定义，间断；其他函数在x=0处连续。

8.若\lim_{x\to2}f(x)=3，则\lim_{x\to2}(f(x)+5)的值是（）

A.3B.5C.8D.不存在

【答案】C

【解析】\lim_{x\to2}(f(x)+5)=\lim_{x\to2}f(x)+\lim_{x\to2}5=3+5=8。

9.下列函数中，在x=0处可导的是（）

A.f(x)=|x|B.f(x)=x^3C.f(x)=\begin{cases}xx\neq0\\1x=0\end{cases}D.f(x)=\begin{cases}x^2x\neq0\\0x=0\end{cases}

【答案】B

【解析】f(x)=x^3在x=0处可导，f(0)=3x^2|_{x=0}=0；其他函数在x=0处不可导。

10.若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上（）

A.一定有最大值和最小值B.一定有导数

C.