第一章 矩阵的相似变换.pptVIP

证明：用数学归纳法。的阶数为1时定理显然成立。现设的阶数为时定理成立，考虑的阶数为时的情况。取阶矩阵的一个特征值，对应的单位特征向量为，构造以为第一列的阶酉矩阵，因为构成的一个标准正交基，故第30页，共62页，星期日，2025年，2月5日，因此第31页，共62页，星期日，2025年，2月5日令那么其中是阶矩阵，根据归纳假设，存在阶酉矩阵满足(上三角矩阵)注意:等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵的全部特征值.第32页，共62页，星期日，2025年，2月5日试求酉矩阵使得为上三角矩阵.解:首先求矩阵的特征值例:已知矩阵第33页，共62页，星期日，2025年，2月5日所以为矩阵的三重特征值.当时,有单位特征向量再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量第34页，共62页，星期日，2025年，2月5日再解与内积为零的方程组求得一个单位解向量取第35页，共62页，星期日，2025年，2月5日计算可得第36页，共62页，星期日，2025年，2月5日第37页，共62页，星期日，2025年，2月5日再求矩阵的特征值所以为矩阵的二重特征值.当时,有单位特征向量令第38页，共62页，星期日，2025年，2月5日再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量第39页，共62页，星期日，2025年，2月5日取计算可得第40页，共62页，星期日，2025年，2月5日令于是有第41页，共62页，星期日，2025年，2月5日第42页，共62页，星期日，2025年，2月5日矩阵即为所求的酉矩阵.正规矩阵定义:设,如果满足则第43页，共62页，星期日，2025年，2月5日那么称矩阵为一个正规矩阵.设,如果同样满足那么称矩阵为一个实正规矩阵.例:(1)为实正规矩阵第44页，共62页，星期日，2025年，2月5日第1页，共62页，星期日，2025年，2月5日1.1特征值与特征向量第一章矩阵的相似变换定义设，如果存在和非零向量，使，则叫做的特征值，叫做的属于特征值的特征向量。第2页，共62页，星期日，2025年，2月5日（3）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。矩阵的特征值与特征向量的性质：（2）特征值的几何重数不大于它的代数重数。（1）一个特征向量不能属于不同的特征值。第3页，共62页，星期日，2025年，2月5日（4）设是的个互不同的特征值，的几何重数为，是对应于的个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。第4页，共62页，星期日，2025年，2月5日（5）设阶方阵的特征值为，则第5页，共62页，星期日，2025年，2月5日1.2相似对角化定义：设