重庆市南开中学校2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题（含解析）.docxVIP

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重庆市南开中学校2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（????）

A． B． C． D．

2．已知，则“”是“且”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知双曲线，其渐近线方程为，则的离心率为（????）

A． B． C．2 D．

4．已知函数，则的图象可能是（????）

A． B．

C． D．

5．已知函数，若直线与的图象分别交于两点，则的最小值为（????）

A． B．2 C． D．1

6．由1，2，3，4，5，6，7，8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，且满足3和4相邻，则这样的八位数有（????）个.

A．432 B．257 C．216 D．504

7．已知是正实数，若函数的图象与的图象相切，则的最小值是（????）

A． B． C． D．3

8．若函数满足，且，则的极大值是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列命题正确的是（????）

A．若事件与事件相互独立，则

B．若事件与事件相互独立，则

C．标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差越大，数据的离散程度越大

D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型拟合效果越好

10．已知，则（????）

A． B．

C． D．

11．已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．当时，有唯一解

B．都存在极值点

C．当时，若在上单调递减，则

D．当时，若有两个不同实根，则

三、填空题

12．的展开式中的系数是．（结果用数字作答）

13．已知函数，则关于的不等式的解集为.

14．已知函数在上单调递增，则的最小值是.

四、解答题

15．已知函数.

(1)当时，求函数的值域；

(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

16．在圆锥中，母线长为2，四边形为底面圆的内接四边形，若面积的最大值为.

(1)求圆锥的体积；

(2)若四边形为平行四边形，，求平面与平面所成夹角的余弦值.

17．某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．

(1)当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望；

(2)当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值．

18．椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，为坐标原点，为上动点，已知，且当垂直于长轴时，.

(1)求椭圆的方程；

(2)若一条直线与椭圆交于不同两点，且直线斜率乘积为，直线垂直于点.

（i）求动点的轨迹方程;

（ii）已知为线段上靠近的四等分点，求面积的最大值.

19．已知函数，.

(1)讨论函数在定义域内的单调性；

(2)若存在唯一一组实数，使得在上的值域为.

（i）求证:;

（ii）求实数的取值范围.

《重庆市南开中学校2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

B

C

B

A

D

B

B

AC

BD

题号

11

答案

ABD

1．A

【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可.

【详解】由，

则.

故选：A.

2．B

【分析】根据对数函数的单调性以及充分必要条件的概念即可得出答案.

【详解】若，则且或者且，故充分性错误；

若且，则，故必要性正确.

所以“”是“且”的必要不充分条件.

故选：B

3．C

【分析】根据渐近线方程公式以及离心率公式即可求解.

【详解】由题意可知，故离心率为，

故选:C

4．B

【分析】根据函数的奇偶性以及正负值即可通过排除求解.

【详解】的定义域为全体实数，

且，故为奇函数，图像关于原点对称，此时可排除AC,

又故，此时可排除D,

故选：B

5．A

【分析】首先对两函数求导，然后确定取最小值的条件，进而求出两点的坐标，从而求出的最小值.