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初一下数学不等式专题复习资料

同学们，不等式是我们初中数学学习中的重要组成部分，它不仅是对等式知识的延伸，更是解决实际生活中数量大小比较和优化问题的有力工具。掌握不等式的性质和解法，对于后续学习更复杂的数学知识以及培养逻辑思维能力都至关重要。这份复习资料将带领大家系统梳理不等式的相关知识，希望能帮助大家巩固基础，提升解题能力。

一、不等式的基本概念

1.1不等式的定义

用不等号（如“”、“”、“≥”、“≤”、“≠”）表示大小关系或不等关系的式子，叫做不等式。例如：`x+35`，`2y-1≤3`等。

1.2不等式的解与解集

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个不等式往往有无数个解。

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

1.3用数轴表示不等式的解集

数轴是表示不等式解集的直观工具，它能帮助我们清晰地理解解集的范围。

步骤：

1.画数轴；

2.确定界点：解集包含界点用实心圆点，不包含界点用空心圆圈；

3.确定方向：大于向右画，小于向左画。

例如：

`x2`的解集在数轴上表示为：以2为界点，空心圆圈，向右画线。

`x≤-1`的解集在数轴上表示为：以-1为界点，实心圆点，向左画线。

二、不等式的基本性质

不等式的基本性质是解不等式的依据，我们必须深刻理解并熟练运用。

1.性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

如果`ab`，那么`a±cb±c`。

2.性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果`ab`，且`c0`，那么`acbc`（或`a/cb/c`）。

3.性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。

如果`ab`，且`c0`，那么`acbc`（或`a/cb/c`）。

注意：性质3是不等式与等式的重要区别，也是同学们最容易出错的地方，一定要格外留意！在进行乘除运算时，务必先判断所乘（或除）的数的正负性。

三、解一元一次不等式

3.1一元一次不等式的定义

含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。

3.2解一元一次不等式的步骤

解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要特别注意在运用性质3时，不等号方向的变化。

1.去分母：根据不等式的性质2或3，在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项，若分子是多项式，要加括号。

2.去括号：根据去括号法则和分配律进行，注意符号。

3.移项：把含有未知数的项移到不等式的一边，其他项移到另一边，移项要变号。

4.合并同类项：把不等式化为`axb`(或`axb`，`ax≥b`，`ax≤b`)的形式。

5.系数化为1：根据不等式的性质2或3，在不等式两边都除以未知数的系数`a`。若`a0`，不等号方向不变；若`a0`，不等号方向改变。

示例：解不等式`(x-1)/2-1(2x+1)/3`

（此处省略具体求解过程，实际复习时应带领学生一步步完成，并强调每一步的依据和注意点，特别是去分母时各项都要乘，以及若系数为负时不等号方向的改变。）

3.3解一元一次不等式的注意事项

去分母时，不要漏乘常数项。

移项要变号。

系数化为1时，要严格按照性质2和性质3判断不等号方向是否改变。

不等式的解集一般用最简形式表示。

四、一元一次不等式的应用

列一元一次不等式解决实际问题，是不等式知识的重要应用，其步骤与列一元一次方程解应用题类似，但要注意寻找题目中的不等关系。

4.1解题步骤

1.审题：理解题意，明确已知量、未知量以及它们之间的关系。

2.设元：设出适当的未知数（通常设直接未知数）。

3.列不等式：找出题目中的不等关系，根据不等关系列出不等式。

*常见的不等关系关键词：大于（）、小于（）、不大于（≤）、不小于（≥）、至少、至多、超过、不足等。

4.解不等式：求出不等式的解集。

5.检验：检验解集是否符合题意，尤其要注意实际问题中对未知数的限制条件（如正整数、非负数等）。

6.作答：写出符合题意的答案。

4.2常见类型

分配问题（如物品分配、人员安排）

比较问题（如方案比较、费用比较）

行程问题（如追及、相遇中的不等关系）

工程问题（如完成工作的时间限制）

浓度问题（较少见，但原理相通）

示例：某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。

（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种