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奥数牛吃草问题趣味数学题集

在奥数的奇妙世界里，“牛吃草问题”无疑是一颗璀璨的明珠。它不仅仅是一个数学题，更像是一个充满生活气息的场景，考验着我们对动态变化过程的理解和把握。这类问题的核心魅力在于，它涉及到一个不断增长的量（草）和一个不断消耗的量（牛吃的草），需要我们找到其中的平衡与规律。掌握了牛吃草问题的解题思路，你会发现许多看似复杂的动态问题都会变得清晰起来。

一、牛吃草问题的本质与解题密钥

牛吃草问题，又称消长问题或牛顿问题，它的典型特征是：在一个固定的资源（如草地）中，资源本身会以一定的速度自然增长（或减少），同时又有一个消耗者（如牛）以一定的速度消耗该资源。解决这类问题的关键在于，我们需要同时考虑到原有资源量和资源的变化速度。

核心解题思路（假设法）：

1.设定单位量：通常假设1头牛1天吃的草量为“1份”。这是简化问题的基础。

2.求草的生长速度：通过对比不同数量的牛吃不同天数的情况，计算出草地每天新生长的草量。

3.求原有草量：利用已知条件，求出草地原有的草量是多少份。

4.解决问题：根据题目要求，结合原有草量和草的生长速度，计算出特定条件下的结果（如可供多少头牛吃几天，或几头牛吃多少天等）。

二、经典母题与解题示范

例1：一片青草地，每天都匀速长出青草。这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么这片草地可供21头牛吃几周？

分析与解答：

*Step1：设定单位量

设1头牛1周吃的草量为1份。

*Step2：求草的生长速度

27头牛6周吃的草量：27×6=162（份）

23头牛9周吃的草量：23×9=207（份）

同样一片草地，为什么后者的总草量比前者多呢？因为多生长了（9-6）=3周的草。

因此，3周新长的草量为：207-162=45（份）

所以，草每周的生长速度为：45÷3=15（份/周）。这意味着每周新长出的草够15头牛吃1周。

*Step3：求原有草量

27头牛6周吃的162份草中，包含了原有的草和6周新长的草。

6周新长的草量：15×6=90（份）

因此，原有草量：162-90=72（份）。

*Step4：解决问题——供21头牛吃几周？

21头牛每周要吃21份草。但草地每周能新长出15份草，这15份草可以先供给15头牛。

那么，剩下的21-15=6头牛，就需要吃原有的草了。

原有草量是72份，可供6头牛吃：72÷6=12（周）。

答：这片草地可供21头牛吃12周。

三、趣味变式题集与详解

掌握了基本方法，我们来挑战一些不同场景的“牛吃草”问题，看看你能否举一反三。

变式1：抽水问题

题目：一个水池，底部有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池。现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？

思路提示：将“进水管”看作“牛”，“排水管”看作“草的自然减少”（与牛吃草问题中草自然生长相反，这里是原有水量在减少，或者说，排水管在“消耗”进水管注入的水），“水池容量”看作“原有草量”。

解答：

*设1个进水管1小时的进水量为1份，排水管1小时的排水量为x份。

*打开4个进水管，5小时的总进水量：4×5=20份；5小时排水管的总排水量：5x份。水池注满，说明进水量比排水量多的部分就是水池的容量。所以，水池容量=20-5x。

*打开2个进水管，15小时的总进水量：2×15=30份；15小时排水管的总排水量：15x份。同理，水池容量=30-15x。

*因为水池容量固定，所以：20-5x=30-15x

解得：10x=10→x=1。即排水管每小时排水1份。

*水池容量=20-5×1=15份（或30-15×1=15份）。

*现在要2小时内注满。设需打开n个进水管。

2小时的总进水量：n×2=2n份；2小时的总排水量：2×1=2份。

要注满水池：2n-2≥15→2n≥17→n≥8.5

由于进水管个数必须为整数，所以至少要打开9个进水管。

答：至少要打开9个进水管。

变式2：检票口问题

题目：某游乐场在开门前已经有游客在排队等候，开门后每分钟来的游客人数相同。如果打开3个检票口，需要40分钟才能让所有游客检票入场；如果打开4个检票口，需要25分钟才能让所有游客检票入场。现在要求16分钟内让所有游客检票入场，那么至少需要打开多少个检票口？

思路提示：将“检票口”看作“牛”，“每分钟新来的游客”看作“草的生长速度”，“开门前已有