第二章平稳随机过程的谱分析.pptVIP

2.2联合平稳随机过程的互谱密度一、互谱密度考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们的样本函数分别为和，定义两个截取函数、为：第29页，共66页，星期日，2025年，2月5日因为、都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围(-T，T)内，两个随机过程的互功率为:（注意、为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）由于、的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:第30页，共66页，星期日，2025年，2月5日注意到上式中，和是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令得：第31页，共66页，星期日，2025年，2月5日定义互功率谱密度为：则第32页，共66页，星期日，2025年，2月5日同理，有：且第33页，共66页，星期日，2025年，2月5日二、互谱密度和互相关函数的关系若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有即对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。第34页，共66页，星期日，2025年，2月5日三、互谱密度的性质性质1：证明：（令）第35页，共66页，星期日，2025年，2月5日性质2：证明：同理可证第36页，共66页，星期日，2025年，2月5日性质3：证明：类似性质2证明。性质4：若X(t)与Y(t)正交，则有证明：若X(t)与Y(t)正交，则所以第37页，共66页，星期日，2025年，2月5日性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值和，则证明：因为X(t)与Y(t)不相关，所以（）第38页，共66页，星期日，2025年，2月5日例6：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为:求互谱密度，。性质6：第39页，共66页，星期日，2025年，2月5日解：第40页，共66页，星期日，2025年，2月5日2.3离散时间随机过程的功率谱密度一、离散时间随机过程的功率谱密度1.平稳离散时间随机过程的相关函数设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为:简写为：第41页，共66页，星期日，2025年，2月5日2.平稳离散时间随机过程的功率谱密度当满足条件式时，我们定义的功率谱密度为的离散傅里叶变换，并记为是频率为的周期性连续函数，其周期为奈奎斯特频率第42页，共66页，星期日，2025年，2月5日因为为周期函数，周期为，在时第43页，共66页，星期日，2025年，2月5日在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为的z变换，并记为，即式中式中，D为在的收敛域内环绕z平面原点反时针旋转的一条闭合围线。性质第44页，共66页，星期日，2025年，2月5日例7：设，求和解：将z=代人上式，即可求得第45页，共66页，星期日，2025年，2月5日其中，T为采样周期，为在时对的采样。设为一确知、连续、限带、实信号，其频带范围，当采样周期T等于时，可将展开为二确定性信号的采样定理第46页，共66页，星期日，2025年，2月5日连续时间确知信号离散时间确知信号采样香农采样定理第47页，共66页，星期日，2025年，2月5日《随机信号分析》教学组第二章平稳随机过程的谱分析第1页，共66页，星期日，2025年，2月5日本章要解决的问题随机信号是否也可以应用频域分析方法?傅里叶变换能否应用于随机信号？相关函数与功率谱的关系功率谱的应用采样定理白噪声的定义第2页，共66页，星期日，2025年，