大学数学竞赛模拟试题及答案.docVIP

大学数学竞赛模拟试题及答案

一、单项选择题

1.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(1-\cosx)}{x^2}$等于（）

A.$\frac{1}{2}f(0)$B.$f(0)$C.$2f(0)$D.不存在

答案：A

2.已知级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，则（）

A.$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$收敛B.$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-b_n)$发散

C.$\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$收敛D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{b_n}$发散

答案：B

3.设$A$是$n$阶方阵，且$|A|=5$，则$|(5A^T)^{-1}|$等于（）

A.$5^{n+1}$B.$5^{n-1}$C.$5^{-n-1}$D.$5^{-n+1}$

答案：C

4.设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，且$E[(X-1)(X-2)]=1$，则$\lambda$等于（）

A.1B.2C.3D.4

答案：A

5.设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处具有二阶连续偏导数，且$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$，令$A=f_{xx}(x_0,y_0)$，$B=f_{xy}(x_0,y_0)$，$C=f_{yy}(x_0,y_0)$，则当（）时，$f(x_0,y_0)$是极大值。

A.$AC-B^20$且$A0$B.$AC-B^20$且$A0$

C.$AC-B^20$且$A0$D.$AC-B^20$且$A0$

答案：B

6.曲线$y=x^3-3x^2+2x+1$的拐点是（）

A.$(1,1)$B.$(0,1)$C.$(2,1)$D.不存在

答案：A

7.设$A$，$B$为$n$阶可逆矩阵，则下列结论正确的是（）

A.$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$B.$(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$

C.$(kA)^{-1}=kA^{-1}(k\neq0)$D.$(AB)^T=B^TA^T$

答案：D

8.已知向量组$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,4,t)^T$，$\alpha_3=(3,6,9)^T$线性相关，则$t$的值为（）

A.6B.3C.2D.1

答案：A

9.设$X$和$Y$是两个相互独立的随机变量，且$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,1)$，则（）

A.$P\{X+Y\leq0\}=\frac{1}{2}$B.$P\{X+Y\leq1\}=\frac{1}{2}$

C.$P\{X-Y\leq0\}=\frac{1}{2}$D.$P\{X-Y\leq1\}=\frac{1}{2}$

答案：B

10.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$\int_{a}^{b}f(x)dx=0$，则（）

A.$f(x)$在$[a,b]$上恒为零B.至少存在一点$\xi\in[a,b]$，使$f(\xi)=0$

C.存在唯一一点$\xi\in[a,b]$，使$f(\xi)=0$D.对任意$x\in[a,b]$，都有$f(x)\neq0$

答案：B

二、多项选择题

1.下列函数在其定义域内连续的有（）

A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\lnx$C.$y=e^x$D.$y=\sinx$

答案：ABCD

2.设$A$，$B$为$n$阶矩阵，下列等式成立的有（）

A.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$B.$(AB)^k=A^kB^k$（$k$为正整数）

C.$|AB|=|A|\cdot|B|$D.$(AB)^T=B^TA^T$

答案：CD

3.已知随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)$，则下列说法正确的有（）

A.$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$B.