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卫星变轨运行规律习题课试卷及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

简要说明卫星在椭圆轨道上运行时，在近地点和远地点处，其速度大小和加速度大小的关系。

二、

质量为m的卫星，在半径为R的星球表面附近以速度v做匀速圆周运动。若要将其加速脱离该星球引力场，至少需要给予多大的速度（第二宇宙速度）？用v和R表示。

三、

一颗卫星在半径为r1的近地圆形轨道上运行，速度为v1。现将其变为半径为r2的椭圆轨道，椭圆的近地点为r1，远地点为r2。求卫星在椭圆轨道的远地点的速度v2。

四、

卫星从半径为r1的圆形停泊轨道，通过点燃火箭发动机，沿切线方向获得一速度增量Δv1，进入椭圆转移轨道，其远地点为r2。之后，在远地点r2处再次点燃火箭发动机，沿半径方向获得一速度增量Δv2，使卫星进入半径为r3的目标圆形轨道。求Δv1和Δv2。（用v1,r1,r2,r3表示）

五、

一颗卫星在半径为r的圆形轨道上运行，引力常量为G，卫星质量为m，星球质量为M。求卫星的动能、引力势能和总机械能。若卫星质量变为2m，其动能、引力势能和总机械能如何变化？

六、

卫星在半径为r1的圆形轨道上运行时，周期为T1。若将其变为半径为r2的圆形轨道，周期变为T2。试证明T22/T12=(r2/r1)3。

七、

解释为什么卫星不能通过仅仅一次速度增量就直接从半径为r1的低圆形轨道变为半径为r2的高圆形轨道？（定性说明）

试卷答案

一、

解析思路：卫星在椭圆轨道上运行时，只受中心天体引力作用，引力提供向心力。根据牛顿第二定律，引力F=ma，其中a是指向轨道中心的向心加速度。在近地点，卫星速度最大，轨道曲率半径最小，根据a=v2/r，近地点加速度最大。在远地点，卫星速度最小，轨道曲率半径最大，向心加速度最小。由于引力大小不变（取决于距离），近地点加速度方向与引力方向相同，远地点加速度方向与引力方向相反。

二、

解析思路：脱离星球引力场意味着卫星的机械能大于或等于零。在星球表面附近做匀速圆周运动时，引力提供向心力，有：GMm/R2=mv2/R。其中GMm/R2是引力大小，mv2/R是向心加速度乘以质量。解得：v2=GM/R。卫星的引力势能为Ep=-GMm/R。要脱离引力场，卫星的动能至少等于引力势能的绝对值，即1/2*mv2≥GMm/R。解得脱离速度v≥√(2GM/R)。用v和R表示即为v。

三、

解析思路：卫星在椭圆轨道上运行时，机械能守恒。设星球质量为M。在近地点r1处，速度为v1，机械能E1=1/2*mv12-GMm/r1。在远地点r2处，速度为v2，机械能E2=1/2*mv22-GMm/r2。由于机械能守恒，E1=E2。又因为在近地圆轨道上运行时，有GMm/r1=mv12/r1，解得v12=GM/r1。代入机械能守恒方程：1/2*m*GM/r1-GMm/r1=1/2*mv22-GMm/r2。化简整理，解得v22=2GM/r1-2GM/r2=2GM*(r2-r1)/(r1*r2)。所以v2=√[2GM*(r2-r1)/(r1*r2)]。用v1和r1,r2表示，代入v12=GM/r1，得v2=v1*√[(2r2-r1)/r2]。

四、

解析思路：卫星变轨问题通常用机械能守恒和角动量守恒定律解决。

进入椭圆转移轨道时（从r1到r2）：

1.角动量守恒：在r1处速度为v1+Δv1，角动量为(r1)(v1+Δv1)；在远地点r2处速度为v2，角动量为r2v2。因此，r1(v1+Δv1)=r2v2。

2.机械能守恒：在r1处机械能为E1=1/2*m*(v1+Δv1)2-GMm/r1；在r2处机械能为E2=1/2*mv22-GMm/r2。因此，E1=E2。

用v1=√(GM/r1)代入上述两个方程，联立求解Δv1和v2。解得v2=(r1/r2)*(v1+Δv1)和Δv1=[√(GM/r1)*(r2/r1-1)]/[1+r2/r1*√(r1/r2)]。简化后Δv1=√(GM/r1)*[(r2-r1)/(r1+r2)]。

进入目标圆轨道时（在r2处）：

1.根据圆轨道条件，卫星在r2处的速度v3=√(GM/r2)。

2.设在r2