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专题19不等式选讲

解答题

1.(2021?高考全国甲卷?理T23)已知函数．

（1）画出和的图像；

（2）若，求a的取值范围．

【解析】（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

2.(2021?高考全国乙卷?文T23)已知函数．

（1）当时，求不等式解集;

（2）若，求a的取值范围．

【解析】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，故或，

所以的解集为.

（2）依题意，即恒成立，

，故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.

3.(2021?河南郑州三模?理T23)已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣4|．

（Ⅰ）在平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象；

（Ⅱ）若对?x∈R，f（x）≤t恒成立，t的最小值为m，且正实数a，b，c满足a+2b+3c＝m，求的最小值．

【解析】（Ⅰ），图象如图所示，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）max＝3，则t≥3，故m＝3，即a+2b+3c＝3，

由柯西不等式有，，

∴的最小值为3，当且仅当a+c＝b+c＝1时等号成立．

4.(2021?河南开封三模?文理T23)已知函数，g（x）＝|x﹣1|．

（1）求函数y＝f（x）+g（x）的最小值；

（2）已知θ∈[0，2π），求关于θ的不等式的解集．

【解析】（1）由已知可得，

当且仅当即时等号成立，

所以函数y＝f（x）+g（x）的最小值为．

（2）由已知，原不等式可化为，

①当时，，原不等式化为sinθ﹣cosθ＞2，此时无解，

②当时，，原不等式化为sinθ+cosθ＜﹣1，

即，所以，，

综上所述，不等式的解集为（π，）．

5.(2021?河南焦作三模?理T23)已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣5|﹣7．

（Ⅰ）在如图所示的网格中画出y＝f（x）的图象；

（Ⅱ）若当x＜1时，f（x）＞f（x+a）恒成立，求a的取值范围．

【解析】（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）＝﹣x﹣1﹣2x+5﹣7＝﹣3x﹣3，

当﹣1≤x≤时，f（x）＝x+1﹣2x+5﹣7＝﹣x﹣1，

当x＞时，f（x）＝x+1+2x﹣5﹣7＝3x﹣11，

综上f（x）＝，则对应的图象如图：

（Ⅱ）当a＝0时，不等式不成立，

当a＜0时，y＝f（x）的图象向右平移﹣a个单位得到y＝f（x+a）的图象，

此时对任意x＜1时，y＝f（x+a）总在y＝f（x）的上方，不满足条件．

当a＞0时，y＝f（x+a）的图象最多平移到与y＝f（x）的图象交于点（1，﹣2）的位置，此时a＝2，

此时a的取值范围是（0，2].

6.(2021?四川内江三模?理T23)已知a＞0，b＞0，4a+b＝2ab．

（1）求a+b的最小值；

（2）若a+b≥|2x﹣1|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，求实数x的取值范围．

【解析】（1）因为a＞0，b＞0，

所以，

所以a+b＝（a+b）（（4+）＝，

当且仅当且，即a＝，a+b的最小值；

（2）若a+b≥|2x﹣2|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，则，

当x时，原不等式可化为2x﹣1+4x+2，

所以；

当时，原不等式可化为﹣2x+4+3x+2，

所以，

当x时，原不等式可化为﹣2x+8﹣3x﹣2，

所以﹣，

综上，x的取值范围[﹣]．

7.(2021?安徽蚌埠三模?文T23)已知函数f（x）＝m﹣|x|﹣|x﹣1|，m∈R，且f（x）的最大值为1，

（1）求实数m的值；

（2）若a＞0，b＞0，a+b＝m，求证：．

【解析】（1）解：∵|x|+|x﹣1|≥|x﹣（x﹣1）|＝1，当x（x﹣1）≤0时取到等号，

∴f（x）max＝m﹣1＝1，

∴m＝2．

（2）证明：由a＞0，b＞0，a+b＝2≥2，

∴ab≤1，

∴++＝+＝≥4，

当且仅当a＝b＝1时取等号．

8.(2021?贵州毕节三模?文T23)已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．

（Ⅰ）解不等式f（x）＜x+4；

（Ⅱ）若k是f（x）的最小值，已知m＞0，n＞0，且（k+1）m+n＝1，求证：k2mn≤m+n．

【解析】（Ⅰ）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，

故当x＞2时，f（x）＜x+4?2x﹣1＜x+4，解得：x＜5，

∴2＜x＜5．

当﹣1≤x≤2时，f（x）＜x+4?3＜x+4，解得x＞﹣1，

∴﹣1＜x≤2．

当x＜﹣1时，f（x）＜x+4?﹣2x+1＜x+4，解得x＞﹣1，

∴此时x无解．

综上，f（x）＜x+4的解集为{x|﹣1＜x＜5}；

证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）≥3，∴k＝3．

由（k+1）m+n＝1，得4m+n＝1，

要证