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数学试题
时间：120分钟
分值：150分
一、单项选择题：
1．点，，那么直线的倾斜角为〔〕．
A．30?B．45?C．120?D．135?
2．直线与平行，那么的值是〔〕．
A．0或1B．0或C．1或D．
3．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥〔如下图〕有“仙境之桥〞之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，那么桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为〔〕．
A．B．C．D．
4．双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，那么该双曲线的标准方程为〔〕．
A．B．
C．D．
5．抛物线内一点，过点的直线交抛物线于，两点，且点为弦的中点，那么直线的方程为〔〕．
A．B．
C．D．
6．椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，直线与椭圆的一个交点为〔在第一象限〕满足，那么该椭圆的离心率为〔〕．
A．B．C．D．
7．我国东南沿海一台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，假设城市在地正北处，那么城市处于危险区内的时间为〔〕小时．
A．B．1C．D．2
8．，，记，那么的最小值为〔〕．
A．B．C．D．
二、多项选择题：在每题给出的四个选项中，有多项符合要求．
9．关于双曲线与双曲线，以下说法正确的选项是〔〕．
A．它们有相同的渐近线B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等
10．以下说法中正确的选项是〔〕．
A．直线与直线垂直
B．直线恒过定点
C．点关于直线的对称点为
D．圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1
11．经过椭圆右焦点且倾斜角为60?的直线交椭圆于，两点，假设、两点在轴右侧，那么椭圆的离心率取值可以为〔〕．
A．B．C．D．
12．在平面上有相异两点，，设点在同一平面上且满足〔其中，且〕，那么点的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．设，，为正实数，以下说法正确的选项是〔〕．
A．当时，此阿波罗尼斯圆的半径
B．当时，以为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切
C．当时，点在阿波罗尼斯圆圆心的左侧
D．当时，点在阿波罗尼斯圆外，点在圆内
三、填空题
13．两平行线与之间的距离为______．
14．双曲线的焦距为8，那么实数的值为______．
15．点为抛物线上的一点且在轴的上方，为抛物线的焦点，以为始边，为终边的角，那么______．
16．圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，那么四边形的面积的最小值为______；直线过定点______．
四、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．点，，．
〔1〕求中边上的高所在直线的方程；
〔2〕求的面积．
18．在①圆经过，②圆心在直线上，③圆截轴所得弦长为8；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解．
圆经过点，且______；
〔1〕求圆的方程；
〔2〕直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程．
19．椭圆的离心率为，且经过点，，是椭圆的左、右焦点．
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕点在椭圆上，且，求的值．
20．平面内点，，以为直径的圆过点．
〔1〕求点的轨迹的方程；
〔2〕过点且倾斜角为锐角的直线交曲线于，两点，且，求直线的方程．
21．是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且．
〔1〕求抛物线的方程；
〔2〕斜率存在的直线与抛物线交于，两点，假设直线，的倾斜角互补，那么直线是否会过某个定点？假设是，求出该定点坐标，假设不是，说明理由．
22．椭圆过点，，为椭圆的左右顶点，且直线，的斜率的乘积为．
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕过右焦点的直线与椭圆交于，两点，直线的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．
参考答案
1．C2．B3．A4．C5．B6．C7．B8．D
9．AD10．BCD11．BD12．AD
13．14．1115．816．，
17．〔1〕，
所以边上的高线的斜率，
又，由点斜式的方程可得边上的高所在的直线方程为，
即．
〔2〕在中，边所在的直线为，，
点到此直线的距离，
．
18．选条件①，
设圆的方程为，
依题意有，
解得，，，
所以圆的方程为，
设圆心到直线的距离为，
那么弦长，
当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，
设其方程为，即，
，解得，，
所以所求直线的方程为或．
〔其他方法按同等步骤给分〕．
19．〔1〕依题意有，，解得，，
那么椭圆的方程为．
〔2〕，，
在中，由余弦定理，
．
20．〔1〕以为直径的圆过点，
即，
整理得：，即点的轨迹方程为．
〔2〕设直线的方程为，，，
与抛物线联立得消去得到，
，①
，②
又，转化得，③
由①②③及得，
所以直线的方程为．
21．〔1〕根据抛物线的定义，，
抛物线的方程为，
〔2〕设直线的方程为，
设，
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