第3有限元分析的数学求解原理.pptVIP

假设发生了虚位移虚位移分量为用表示；引起的虚应变分量用表示虚功原理的矩阵表示3.2虚功原理第30页，共62页，星期日，2025年，2月5日虚功原理的矩阵表示在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：式中是的转置矩阵。同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：根据虚功原理得到：这就是弹性变形体的虚功方程，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关系。这是以后推导有限元方程的基础。第31页，共62页，星期日，2025年，2月5日3.3应用实例A1,l1A2,l2R31.离散化①②1232.位移函数A,lijFiuiFjuj第32页，共62页，星期日，2025年，2月5日xx2.位移函数A,lijFiuiFjuj（单元内位移线性分布）形函数矩阵3.3应用实例第33页，共62页，星期日，2025年，2月5日*3.单元刚度矩阵方程A虚功原理外力虚功虚应变能应变应力应变矩阵弹性矩阵3.3应用实例第34页，共62页，星期日，2025年，2月5日单元刚度矩阵单元的刚度方程单元刚度矩阵Element①Element②3.3应用实例第35页，共62页，星期日，2025年，2月5日*B最小势能定理外力虚功虚应变能由势能变分原理（势能最小原理）得势能变分，整理得平衡方程3.3应用实例第36页，共62页，星期日，2025年，2月5日4整体分析整体分析就是建立整个离散结构所有节点位移与外力之间的关系，实现未知节点位移的求解整体平衡方程整体刚度方程可基于势能变分原理建立，也可根据节点的静力平衡来实现（即每个节点静力平衡）。节点i的平衡为三个节点三个自由度，即3.3应用实例第37页，共62页，星期日，2025年，2月5日（A）扩充单元刚度方程法位移协调性载荷的叠加性A1,l1A2,l2R3①②1233.3应用实例第38页，共62页，星期日，2025年，2月5日整体刚度方程3.3应用实例第39页，共62页，星期日，2025年，2月5日A1,l1A2,l2P①②123（B）“对号入座”法（方便编程）ij1223Total1231233.3应用实例第40页，共62页，星期日，2025年，2月5日5.引入边界条件求解A1,l1A2,l2R3①②123边界条件支反力3.3应用实例第41页，共62页，星期日，2025年，2月5日结构离散单元分析整体分析3.4基本步骤为三大步骤第42页，共62页，星期日，2025年，2月5日1、结构离散:就是用假想的线或面将连续物体分割成有限个单元组成的集合体且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。（基本要求）注意的问题单元：满足一定几何特性和物理特性的最小结构域节点：单元与单元间的连接点节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力节点载荷：作用于节点上的外载3.4基本步骤为三大步骤第43页，共62页，星期日，2025年，2月5日2单元分析:1），选择插值（位移）函数；2），构造位移函数。插值函数：用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。选择位移函数的一般原则位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。位移函数一般采用多项式形式，在单元内选适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解3.4基本步骤为三大步骤第44页，共62页，星期日，2025年，2月5日第3有限元分析的数学求解原理第1页，共62页，星期日，2025年，2月5日前一章针对任意形状变形体，基于物体内的微小体元dxdydz定义了描述弹性变形体的所有基本力学信息（ui，εij，σij）、基本方程（平衡、几何、物理）及边界条件。接下来的任务就是对这些方程在具体的条件下进行求解，也就是说在已知边界条件下，由基本方程求出相应的位移场、应力场和应变场。一般来说，求解方程的途径有两大类：（1）直接针对原始方程进行求解，方法有：解析法(analyticalmethod)、半逆解法(semi