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绍兴市中考数学期末几何综合压轴题易错汇编
一、中考数学几何综合压轴题
1．综合与实践
如图①，在中中，，，，过点作于，将绕点逆时针方向旋转，得到，连接，，记旋转角为．
（1）问题发现
如图②，当时，__________；如图③，当时，__________．
（2）拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图④的情形给出证明．
（3）问题解决
如图⑤，当绕点逆时针旋转至点落在边上时，求线段的长．
解析：（1），；（2）无变化，理由详见解析；（3）．
【分析】
（1）首先利用勾股定理可求出AB的值，再根据三角形面积求出CD的值，再次利用勾股定理求出AD、BD的值，再分情况进一步得出的值即可；
（2）根据旋转的性质可得出，，再证明即可得出结论；
（3）过点作于，证，推出，得出，继而得到，再根据，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵，，
∴
∵
∴
∴
当时，
∴
当时，
∴
故答案为：；；
（2）无变化．
证明：∵在中，，，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，即．
∴，．
∴．
由旋转可知，，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）如图，过点作于．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，即．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了勾股定理、三角形的面积公式、旋转的性质、相似三角形的判定及性质等多个知识点，综合性较强，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，会利用相似三角形的性质解题，此题结构精巧，考查范围广．
2．问题背景如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥DC，求证：．
尝试应用如图2，在?ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值．
拓展创新如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出cos∠AFE的值．
解析：（1）见解析；（2）；（3）cos∠AFE=．
【分析】
(1)根据相似三角形的判定定理证△ABE∽△ECD即可；
(2)在AB边取点G，使GE=BE，则∠B=∠BGE，证△AGE∽△ECF，列比例式即可；
(3)作FM=FD，FN⊥AD，同（2）构造△AMF∽△FCE，证△AEF∽△FHD，求出AM长即可．
【详解】
解：（1）∵AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥DC
∴∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CED，
∴△ABE∽△ECD
∴．
（2）在AB边取点G，使GE=BE，则∠B=∠BGE
又∵∠B+∠C=180°，∠BGE+∠AGE=180°
∴∠AGE=∠C
∵∠B=∠D=∠AEF
又∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC
∴∠BAE=∠FEC，
∴△AGE∽△ECF
∴，即
∵EF=FD，
∴
∵GE=BE，AE=BC=2BE，
∴
（3）cos∠AFE=
如图：作FM=FD，FN⊥AD，
由（2）同理可证△AMF∽△FCE，
∴
设AM=，FM=FD=，则AD=CD=，MD=，ND=
∵∠AEF=∠FND=90°，∠AFE＝∠D，
∴△AEF∽△FND，
∴，即，
∵，
∴，
解得，，经检验，是原方程的解；
∴cos∠AFE=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形，解题关键是依据已知条件构造相似三角形，列比例式解决问题．
3．（基础巩固）
（1）如图①，，求证：．
（尝试应用）
（2）如图②，在菱形中，，点E，F分别为边上两点，将菱形沿翻折，点A恰好落在对角线上的点P处，若，求的值．
（拓展提高）
（3）如图③，在矩形中，点P是边上一点，连接，若，求的长．
解析：（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）由证明，再根据相似三角形的判定方法解题即可；
（2）由菱形的性质，得到，，继而证明是等边三角形，结合（1）中相似三角形对应边成比例的性质，设，则可整理得到，据此解题；
（3）在边上取点E，F，使得，由矩形的性质，得到，结合（1）中相似三角形对应边成比例的性质解题即可．
【详解】
解：（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）得，，
∴，
设，则
∴，
可得①，②，
①－②，得，
∴，
∴的值为；
（3）如图，在边上取点E，F，使得，设AB=CD=m，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
=DF，
，
由（1）可得，，
∴，
∴，整理，得，
解得或（舍去），
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的综合题、等边三角形的性质、菱形的性质、矩形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
4．在中，点D，E分别是边上的点，．
基础理解：
（1）如图1，若，求的值；
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