专题2.1 认识无理数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）.docxVIP

专题2.1认识无理数（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】不是有理数的数（无理数的产生）

如图，用剪拼的方法将两个边长为1的小正方形拼成如图①②③的某个大正方形，若大正方形边长为a，由拼法可知a2

我们利用夹逼法进行探索：拼成的面积为2的大正方形的面积夹在面积为1和面积为4的两个正方形的面各之间，它的边形必然在1和2之间，显然a不为整数。

又因为最简分数的平方仍为分数，若a为最简分数，则仍然是一个分数，也不等于2，所以a也不为分数。

从上面分析与推理，若

【知识点2】无理数的概念

无理数的概念无限不循环小数称为无理数，如圆周率≈3..,1.010010001(相邻两个1之间0的个数依次增加1)等

常见的无理的的几种类型

一般的无限不循环小数，如1.4142345...；

有规律的不循环小数，如1.010010001(相邻两个1之间0的个数依次增加1)；

含的一些数，如5；

开方开不尽的数，

无理数与有理数的和，如+4；

无理数乘以或除以一个不为0的有理数，结果是无理数，如.

【考点一】无理数??无理数的产生与证明

【例1】证明：x2=

【分析】假设x是有理数，则x可以表示为（均为整数且互质），从而可得，由此判断出是偶数，再设（为整数），从而可得，由此判断出是偶数，据此得出假设不成立，即可得证．

证明：假设x是有理数，

故x可以表示为（均为整数且互质），

则，

因为是偶数，

所以是偶数，

所以是偶数，

设（为整数），

则，即，

所以也是偶数，这和互质矛盾．

所以假设不成立，x是无理数．

【点拨】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题关键．

【举一反三】

【变式】设a是有理数，x是无理数，证明：是无理数，且当时，是无理数．

【分析】根据有理数的和差积商仍为有理数证明即可．

解：假设是有理数，则也是有理数，这与题中“是无理数”矛盾，所以是无理数．

同理假设是有理数，也是有理数，这与题中“是无理数”矛盾，所以是无理数．

【点拨】本题考查了用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．

【考点二】无理数??无理数的概念

【例2】把下列各数的序号填入相应的横线内：

①，②＋8，③20%，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（每两个“1”之间依次多一个“3”）．

整数：{??????????}；

负分数：{??????????}；

无理数：{??????????}．

【答案】整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨

【分析】先化简多重符号及绝对值，然后根据有理数及无理数的定义求解即可．

解：，，

整数：＋8，0，；

负分数：，；

无理数：，（每两个“1”之间依次多一个“3”）．

故答案为：整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨．

【点拨】题目主要考查数的分类及化简，熟练掌握数的分类是解题关键．

【举一反三】

【变式1】把下列各数分别填入相应的大括号内：，，，，，，，，，．

整数集合{___________…}；

正分数集合{___________…}；

非正数集合{___________…}；

无理数集合{___________…}．

【分析】根据各自的定义：整数（正整数、零和负整数）；无理数（无限不循环的小数），即可求解．

解：负整数；是小数也是分数；是负数，也是小数；是无理数；是整数；是分数；是小数也是分数；是带分数，也是负数；是正整数，是循环小数，也是有理数；即有：

整数集合：{，，，}；

正分数集合：{，，，，}；

非正数集合：{，，，，}；

无理数集合：{，}．

【点拨】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、无理数、非正数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．正分数是首先是分数，即是有理数，再是正数．

【变式2】把下列各数的序号填入相应的集合里.

，，，，，，，

正数集合：{___________…}；

整数集合：{___________…}；

负分数集合：{___________…}；

无理数集合：{___________…}.

【答案】；；；

【分析】根据有理数及无理数的分类解答即可．

解：，，，

正数集合：{…}；

整数集合：{…}；

负分数集合：{…}；

无理数集合：{…}.

故答案为：；；；

【点拨】本题考查了有理数及无理数的分类，解决本题的关键是熟练掌握有理数及无理数的分类方法．

【考点三】无理数??勾股定理与无理数

【例3】500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2