第三章常微分方程的边值和本征值问题.pptVIP

第三章常微分方程的边值和本征值问题演示文稿;第三章常微分方程的边值和本征值问题;本章内容;3.0边值问题与本征值问题;本征值问题;物理学中许多重要的微分方程具有如下形式;例如泊松方程;作变换;量子力学中，中心势场V(r)中运动的粒子波函数满足定态薛定谔方程;对于该方程，我们感兴趣的是对哪些能量本征值E，能够导出满足适当边界条件的物理上可以接受的非零解，这个问题就是一个本征值问题;3.1Numerov算法;对yn+1或者yn-1解这个线性方程，就提供了一个对x向前或者向后积分的递推关系，其局部误差为O(h6).;注意这个算法比四阶Runge-Kutta算法高一个精度，而且Numerov算法更有效率，因为每一步只需要在一个格点上计算k2和S。;例子——利用Numerov算法解初值问题;而y1是未知的，需要一个一步迭代格式来产生y1，例如可选择Euler方法或Taylor级数展开，并利用初始条件;注意Numerov算法与前面所讲算法的区别;3.2边值问题的直接积分;其中;为了求得φ1，直接对方程积分;计算结果发现，当r增大时，φ的误差变大;这个渐进方程有两个线性独立的解;当r很大时，位势Φ→r-1，因而?~1。;已知Φ→1+br,b为未知常数，需要从解中减去br。;线性修正后得到的解;对于本例，我们也可以采用向后积分的迭代格式来实施直接积分，即从r很大处（例如r=20）出发，取?n+1=?n=1，然后向后积分。;3.3打靶法求边值问题;这样对于给定的参数δ，我们就可以通过积分这个初始问题得到yδ(b)．;一般来说，由于可调参数δ的随意选择，yδ(b)和yb很难相等。;目前二十九页\总数四十二页\编于六点;yδ(b)=yb;例子;对于边值条件y’(0)=a,y(1)=b，我们可以选择y(0)的值为可调参数δ，即y(0)=δ，这样就构成了一个含参数的初始问题，然后通过使用一个有哪些信誉好的足球投注网站算法去调整参数δ，使数值解在误差范围内等于y(1)。;3.4打靶法求解本征值问题;策略：我们先猜测一个试验本征值k，同时任取一个非零数δ，把微分方程变化为一个初始值问题;注意：试验本征值k是一个可调参数，而参数δ只是一个任意选定的辅助参数，它的任意性是由于解的不唯一性引起的，并不影响本征值的??解，一般来说它可以由本征函数的归一化来确定。;目前三十六页\总数四十二页\编于六点;3.5一维薛定谔方程的定态解;定解问题;算法的思想为：由于我们要求的是一个束缚态解,因此取一个负的试验本征值，从xmin出发向前直接积分，可以产生一个数值解ψ。;因此比较明智的做法是，在每一个试验本征值上，由xmax出发向后直接积分产生另一个数值解ψ。;这里的ψ是一个方便的标尺;谢谢大家！