高等数学之无穷级数.pptVIP

第1页，共16页，星期日，2025年，2月5日一、正项级数收敛的充要条件若定理1.正项级数收敛部分和数列有上界.发散,∴部分和数列又已知则称为正项级数.单调递增,有上界,故从而收敛,也收敛.证:“”“”机动目录上页下页返回结束若无上界，则从而与已知矛盾，因此有上界.第2页，共16页，星期日，2025年，2月5日定理2(比较判别法)设(1)若级数则级数(2)若级数则级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,机动目录上页下页返回结束且二、正项级数的比较判别法第3页，共16页，星期日，2025年，2月5日推论：(比较判别法)设且存在对一切有(1)若级数则级数(2)若级数则级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k0),机动目录上页下页返回结束第4页，共16页，星期日，2025年，2月5日例1.判别级数的敛散性.解:根据比较判别法知，收敛.机动目录上页下页返回结束令且因而为正项级数，当时，有因此若取则是公比为的收敛的几何级数。第5页，共16页，星期日，2025年，2月5日例2.讨论p级数的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较判别法可知p级数发散.发散,机动目录上页下页返回结束第6页，共16页，星期日，2025年，2月5日因为当故考虑强级数的部分和由比较判别法知p级数收敛.时,2)若机动目录上页下页返回结束第7页，共16页，星期日，2025年，2月5日几何级数、调和级数与p级数是三个常用的比较级数.机动目录上页下页返回结束几何级数为收敛，发散，p-级数为收敛，发散，调和级数发散，第8页，共16页，星期日，2025年，2月5日证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较判别法可知,所给级数发散.例3.机动目录上页下页返回结束第9页，共16页，星期日，2025年，2月5日判定级数的收敛性.证:而级数收敛.根据比较判别法可知,所给级数收敛.例4.机动目录上页下页返回结束因为第10页，共16页，星期日，2025年，2月5日定理3.比值判别法(D’Alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.机动目录上页下页返回结束说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.三、正项级数的比值判别法第11页，共16页，星期日，2025年，2月5日例5.讨论级数的敛散性.解:根据比值判别法可知，原级数收敛.机动目录上页下页返回结束例6.讨论级数的敛散性.解:根据比值判别法可知，原级数收敛.第12页，共16页，星期日，2025年，2月5日