重难点08：几何最值模型 解析版-A4.docxVIP

第PAGE页

重难点08：几何最值模型

【模型归纳】

模型一：将军饮马

模型二：费马点

模型三：胡不归模型

模型四：阿氏圆模型

模型五：隐形圆

模型六：瓜豆原理

模型一：将军饮马

模型一：两定一动模型

模型

作法

结论

当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．

连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．

PA＋PB的最小值为AB

当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．

作点B关于直线l的对称点B，

连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．

PA＋PB的最小值为AB

当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大．

连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．

的最大值为AB

当两定点A、B在直线l异侧时，在直线

l上找一点P，使得最大．

作点B关于直线I的对称点B，连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．

的最大值为AB

当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小．

连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点．

的最小值为0

模型二：一定两动模型

模型

作法

结论

点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．

分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．

△PCD周长的最小值为P′P″

点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．

作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB于D，点C、点D即为所求．

PD＋CD的最小值为P′C

1．（2023·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（????）

A．8 B． C．10 D．

【答案】A

【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化即可求解．

【详解】解：如图，设点O为的中点，由题意可知，

点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆），

点E的对称点为，连接,则，

∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长，

如图所示，在中，，，

，

又，

，即的最小值为8，

故选：A．

【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将进行转化时解题的关键．

2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为．

【答案】12

【分析】作点B关于的对称点F，连接交于E，连接、，则，此时，最小，先求出，，利用直角三角形的性质得到，从而求得，，再证明为等边三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长即可求解．

【详解】解：作点B关于的对称点F，连接交于E，连接、，则，此时，最小，

∵

∴，，

∴

∵

∴

∴

∴

∵点B与点F关于的对称，

∴，，

∴

∵

∴为等边三角形，

∵点D为的中点，

∴，，

∴

∴的最小值为12．

故答案为：12．

【点睛】本题考查利用轴对称求最短距离问题，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握“将军饮马”问题是解题的关键．

3．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为．

【答案】

【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解．

【详解】解：连接，如图所示：

∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，

∴，，，

∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，

∴，，，

∴，即是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴设，，

则在中，，

∴，

∴，

∵在中，，又

∴，

解得，

∴，，

∴，

∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称，

∴连接，则，

∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处，

∴的最小值为，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键．

4．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P是x轴上的一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，求的最小值．

【答案】

【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，正切