河北正定中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题（含解析）.docxVIP

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河北正定中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．数据5.2，7.1，8.1，8.3，8.5，8.6，8.8，9.1的第75百分位数为（????）

A．8.5 B．8.6 C．8.7 D．8.8

2．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

3．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

4．设且，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．在中，若，，，则（????）

A． B． C． D．

6．已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（???）

A． B． C． D．

7．设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（???）

A．49 B．50 C．51 D．52

8．已知，且，则（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．数列为等差数列，为其前项和，已知，则（????）

A． B．

C． D．当或时，最大

10．已知函数，则（???）

A．在上单调递减 B．是函数的极小值点

C．只有最大值，无最小值 D．当时，有三个零点

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，虚轴长为，过且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点（其中点M在第一象限内），则（???）

A．双曲线C的方程为

B．当时，

C．若，则的面积为

D．当时，的内切圆半径为

三、填空题

12．已知向量，，与共线，则.

13．若函数的最小值为2，则实数a的值是.

14．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若平面，则点的轨迹的长度为.

四、解答题

15．已知函数.

(1)求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值；

(2)讨论在上的单调性.

16．已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求的方程；

(2)若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值．

17．如图，已知四棱锥，底面ABCD为梯形，，，，且平面平面ABCD，已知，．

(1)证明：平面PBC；

(2)若，，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值．

18．已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，若函数有2个不同的零点，．

（ⅰ）求a的取值范围；

（ⅱ）证明：．

19．在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：

(1)求出n维“立方体”的顶点数；

(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离

①求出X的分布列与期望；

②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于．

《河北正定中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

C

A

C

B

C

A

AB

AD

题号

11

答案

BCD

1．C

【分析】由百分位数的计算，可得答案.

【详解】因为，所以这组数据的第75百分位数为从小到大排列的第6、7两数的平均数，即.

故选：C．

2．B

【分析】先化简复数，利用复数的几何意义得到关于的不等式组，求解即得.

【详解】因在复平面内所对应的点在第四象限，

所以，解得，故a的取值范围是．

故选：B．

3．C

【分析】化简后根据集合运算求解.

【详解】由，即，解得，

所以，

又，所以．

故选：C．

4．A

【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式，可得，

解得或，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

5．C

【分析】根据正弦定理求解即可.

【详解】由正弦定理，得，

则，解得.

故选：C.

6．B

【分析】利用过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，求出圆的标准方程，再利用点A在圆上，坐标适合方程即可求解．

【详解】由已知可得：，，，

线段的垂直平分线方程为，过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，

所以圆心坐标为，圆的半径为，

所以经过A，B，F三点的圆的圆的方程为