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考研数学全书试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数f(x)=x^3-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】f(x)=3x^2-a，令f(1)=0，得3-a=0，解得a=3。

2.下列极限正确的是（）（2分）

A.lim(x→0)(sinx/x)=1B.lim(x→∞)(e^x/x^2)=∞

C.lim(x→0)(1-cosx)/x^2=0D.lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=1

【答案】A

【解析】A选项是基本的极限公式；B选项极限为∞；C选项极限为1/2；D选项极限为2。

3.级数∑(n=1to∞)(-1)^(n+1)/(2n)收敛性为（）（2分）

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断

【答案】B

【解析】交错级数，满足莱布尼茨判别法，条件收敛。

4.函数y=x^2sinx在区间[0,π]上的平均值为（）（2分）

A.1B.2C.πD.π/2

【答案】D

【解析】平均值为(1/π)∫(0toπ)x^2sinxdx=π/2。

5.矩阵A=[12;34]的逆矩阵为（）（2分）

A.[1-2;-34]B.[-12;3-4]C.[1/10-2/10;-3/104/10]D.[-1/102/10;3/10-4/10]

【答案】C

【解析】A的行列式为-2，逆矩阵为((-1)^24-23)[-4-2;-31]/-2=[1/10-2/10;-3/104/10]。

6.下列向量组线性无关的是（）（2分）

A.[101;010;101]B.[123;234;345]

C.[111;123;136]D.[111;222;333]

【答案】C

【解析】C选项向量组秩为3，线性无关。

7.方程x^2+y^2=1在点(1,0)处的切线方程为（）（2分）

A.x=1B.y=0C.x+y=1D.x-y=1

【答案】C

【解析】隐函数求导，2x+2yy=0，在(1,0)处y=-x/y=-1，切线方程为y-0=-1(x-1)，即x+y=1。

8.微分方程y-4y=0的通解为（）（2分）

A.y=C1e^2x+C2e^-2xB.y=C1sin2x+C2cos2x

C.y=C1e^x+C2e^-xD.y=C1e^2x+C2

【答案】A

【解析】特征方程r^2-4=0，解得r=±2，通解为y=C1e^2x+C2e^-2x。

9.线积分∫(C)(x+y)dx+(x-y)dy沿曲线C：x^2+y^2=1的正方向一周的值为（）（2分）

A.0B.2πC.-2πD.π

【答案】C

【解析】使用格林公式，∮(C)(x+y)dx+(x-y)dy=?(D)(1-(-1))dA=2π，但沿逆时针方向，故为-2π。

10.空间曲线x=t,y=t^2,z=t^3在点(1,1,1)处的切线方向向量为（）（2分）

A.[111]B.[123]C.[011]D.[100]

【答案】B

【解析】方向向量为tangentvector，即[d/dt(x,y,z)]|_{t=1}=[12t3t^2]|_{t=1}=[123]。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列说法正确的有（）（4分）

A.函数f(x)在区间I上连续，则在该区间上必有界

B.函数f(x)在区间I上可导，则在该区间上必连续

C.函数f(x)在x=c处取得极值，则f(c)=0

D.函数f(x)在x=c处取得极值，则曲线y=f(x)在点(c,f(c))处的切线必存在

【答案】B、C

【解析】A选项反例：f(x)=1/x在(0,1)无界；B选项可导必连续；C选项极值点处导数为0；D选项导数存在不一定取得极值。

2.下列级数收敛的有（）（4分）

A.∑(n=1to∞)(1/n^p)(p1)B.∑(n=1to∞)(-1)^(n+1)/n

C.∑(n=1to∞)(1/n^2)D.∑(n=1to∞)sin(nπ/2)

【答案】A、C

【解析】A选项p-级数，p1收敛；B选项条件收敛；C选项p-级数，p=2收敛；D选项不收敛。

3.下列说法正确的有（）（4分）

A.函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)≥0

B.函数f(x)在x=c处取得极值，则曲线y=f(x)在点(c,f(c))处的切线必平行于x轴

C.函数f(x)在区间I上连续，则在该区间上必有原函数

D.函数f(x)在x=c处取得极值，则f(c)可能不存在

【答案】A、D

【解析】A选项单调递增导数非负；B选项极值点处导数可能为0；C选项连续不一定有原函数；D选项极值点处导数可能不存在。

4.下列矩阵可逆的有（）（4分）

A.[10;01]B.[01;10]C.[12;24]D.[10;00]

【答案】A、B

【解析】A、B选项行列式不为0；C选项行列式为0；D选项行列式为0。

5.下列说法