〖数学〗第15章 综合与实践+最短路径问题课件+2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册.pptxVIP

第十五章轴对称

综合与实践最短路径问题

数学

八年级上册

1.能利用轴对称变换解决日常生活中的最短路径问题.

2.能利用轴对称的性质解决几何图形的最值问题.

重点利用轴对称变换解决最短路径问题.

难点求实际问题与几何问题中的最值.

情境导入

在一条河的两侧有两个村庄，现在要在河边建一座水泵站，使其到两村

庄的距离之和最短，你能确定建设水泵站的位置吗?

同步导学

自主预习

预学思考

最短路径问题一般需要利用轴对称进行变换，往往用到关于线段的基本事实，两点之间，线段最短和垂线段最短.

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自学检测

如图，在4×4正方形网格中，M,N为小正方形的顶点，直线l经过小正方

形的顶点A,B,C,D,在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于

(C)

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A.点A处B.点B处C.点C处D.点D处

知识点一牧民饮马问题

阅读课本本课时“活动一”的内容，解答下列问题.

1.如图，在直线l的同侧有两点A,B,若要在直线l上找一点

C,使其到点A,B的距离之和最短.我们可以考虑在直线l的

另一侧找一个点B′,使直线l上的任一点C到点B和点B′的距

离始终相等.因此，只需作出点B关于直线l的对称点B′,根据轴对称的性

质，可知CB=CB,于是连接AB′,与直线l的交点C即所求的点.

同步导学

合作探究

知识生成

归纳总结

当两点在一条直线的同侧时，通过作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点的线段，即最短的路径，其依据是“两点之间，线段最短”,其中线段与直线的交点就是所要找的点.

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知识点二牧民饮马问题的拓展

阅读课本本课时“活动二”的内容，解答下列问题.

1.如图1,分别作点A关于草地边沿的对称点B和河的边沿的对称点C,

连接BC交草地边沿和河的边沿于点D,E,连接AD,AE,就可以得到路径A-D-E-A最短.

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图1

2.如图2,作点A关于草地边沿的对称点A′,作点B关于河的边沿的对称

点B′,连接A′B′交草地边沿和河的边沿于点Q,P,连接AQ,BP,就可以得到路径A-Q-P-B最短.

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图2

3.如图3,作点A关于草地边沿的对称点D,作点A关于河的边沿的对称点

E,连接DE交草地边沿和河的边沿于点B,C,连接AB,AC,就可以得到

路径A-B-C-A最短.

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图3

归纳总结

关于一点或两点与两条直线的最短路径问题：

1.当只有一点时，一般分别作这点关于两条直线的对称点,连接两个对称点交两条直线，再连接这点与交点的线段就可得到最短路径为这个点与两个交点构成的三角形的三边长；

2.当有两个点时，一般分别作这两个点关于各自靠近的一条直线的对称 点，连接这两个对称点交两条直线，再连接这两个点与交点的线段就可得到最短路径.

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对点训练

如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a处吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，点P到a,b的距离分别为5km,6km,则牧马人所走最短的放牧总路程可能是(B)

.P

草地

a

A.22kmB.21kmC.24kmD.23km

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知识点三造桥选址问题

阅读课本本课时“活动三”的内容，解答下列问题.

在造桥选址问题中，考虑将两条直线平移后重合，从而将问题转化为前面的知识进行解决.如图，将点A沿与a垂直的方向平移河宽的距离，连接AB,交直线b于点N,作MN⊥b,线段MN即桥的位置.

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归纳总结

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知

问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.

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题型1最短路径与几何图形中的最值问题

例1如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,EF垂直平分线段BC,P是直线

EF上的任意一点，求△ABP周长的最小值.

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题型精讲

解：如图，连接PC.

∵EF垂直平分线段BC,

∴PB=PC,

∴PA+PB=PA+PC≥AC=6,

∴PA+PB的最小值为6,

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∴△ABP的周长的最小值为6+4=1