中考数学二次函数压轴题专题练习14相似三角形存在性问题（解析版）.pdfVIP

中考数学二次函数

相似三角形存在性问题

相似判定：

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．

以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选

择恰当的判定方法，解决问题．

1.（2024春•渠县校级月考）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、

2

C两点，二次函数y＝ax+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，

其对称轴为直线

（1）求该二次函数表达式；

（2）在y轴的负半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形

与△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

【解答】解：（1）对于，当x＝0时，y＝﹣2，即点C（0，﹣2），

令，则x＝﹣4，即点A（﹣4，0）．

∵抛物线的对称轴为直线，则点B（1，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣4，0），

2

设二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）（x+4）＝a（x+3x﹣4），

∵抛物线过点C（0，﹣2），

则﹣4a＝﹣2，

解得：，

故抛物线的表达式为：；

中考数学二次函数

（2）存在，

理由：在Rt△AOC中，AO＝4，CO＝2，则，

∵以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，∠AOC＝∠MOB＝90°，

∴∠MBO＝∠CAO或∠MBO＝∠ACO，

∴或tan∠MBO＝tan∠ACO＝2，

即或，

解得：或2，

∵点M在y轴的负半轴上，

即点M（0，﹣2）或；

2

2．（2023秋•大丰区月考）如图，已知二次函数y＝﹣x+bx+c的图象与x轴交

于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛

物线交于点P．探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与△ADQ

相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

2

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x+bx+c过A（﹣4，0）与点C（0，4），

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）存在，

当△ADQ∽△CPQ时；

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则∠PCQ＝∠DAQ，∠CPQ＝∠ADQ＝90°；

∵OA＝OC＝4，

∴∠DAO＝∠ACO＝45°，

∴∠PCQ＝∠DAQ＝45°，

∴∠PCQ＝∠PQC＝45°，

∴PQ＝PC，

即﹣m2﹣4m＝﹣m，

解得：m＝﹣3，m＝0（舍去），

此时P（﹣3，4）；

当△ADQ∽△PCQ时，如图，

则∠PCQ＝∠ADQ＝90°，∠QPC＝∠QAD＝45°，

则有∠PQC＝∠Q