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上海民办新和中学中考数学期末二次函数和几何综合汇编
一、二次函数压轴题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，点为抛物线的顶点．点为轴上的动点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，其中旋转后的对应点分别记为．
（1）若，求原抛物线的函数表达式；
（2）在（1）条件下，当四边形的面积为时，求的值；
（3）探究满足什么条件时，存在点，使得四边形为菱形?请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC及抛物线的解析式，并求出D点的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）若点P是x轴上一个动点，过P作直线1∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．小明对函数的图象和性质进行了探究.已知当自变量的值为或时，函数值都为；当自变量的值为或时，函数值都为．探究过程如下，请补充完整．
（1）这个函数的表达式为；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的--条性质：；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线与函数有三个交点，则；
②已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式的解集：．
4．某数学兴趣小组在探究函数y＝x2﹣2|x|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：
（1）列表（完成下列表格）．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
6
3
2
2
3
6
…
（2）描点并在图中画出函数的大致图象；
（3）根据函数图象，完成以下问题：
①观察函数y＝x2﹣2|x|+3的图象，以下说法正确的有（填写正确的序号）
A．对称轴是直线x＝1；
B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2）；
C．当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大；
D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点；
E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到．
②结合图象探究发现，当m满足时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解．
③设函数y＝x2﹣2|x|+3的图象与其对称轴相交于P点，当直线y＝n和函数y＝x2﹣2|x|+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求n的值．
5．在数学拓展课上，九（1）班同学根据学习函数的经验，对新函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
（初步尝试）求二次函数y=x2﹣2x的顶点坐标及与x轴的交点坐标；
（类比探究）当函数y=x2﹣2|x|时，自变量x的取值范围是全体实数，下表为y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
0
﹣1
0
3
…
①根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分；
②根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质．
（深入探究）若点M（m，y1）在图象上，且y1≤0，若点N（m+k，y2）也在图象上，且满足y2≥3恒成立，求k的取值范围．
6．如图1，点EF在直线l的同一侧，要在直线l上找一点K，使KE与KF的距离之和最小，我们可以作出点E关于l的对称点E′，连接FE′交直线L于点K，则点K即为所求．
（1）（实践运用）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．如图2．
①求该抛物线的解析式；
②在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，并求出此时点P的坐标及PA+PC的最小值．
（2）（知识拓展）在对称轴上找一点Q，使|QA﹣QC|的值最大，并求出此时点Q的坐标．
7．小明结合自己的学习经验，对新函数y＝的解析式、图象、性质及应用进行探究：已知当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝1．
（1）函数解析式探究：根据给定的条件，可以确定由该函数的解析式为：．
（2）函数图象探究：
①根据解析式，补全如表，则m＝，n＝．
②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．
x
……
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
0
1
2
n
4
……
y
……
m
2
1
……
（3）函数性质探究：请你结合函数的解析式及所
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