2025年大学《数学与应用数学》专业题库—— 大数定律与中心极限定理.docxVIP

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——大数定律与中心极限定理

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题

1.设随机变量序列X?,X?,…,X?服从同一分布，且E(X?)=μ,D(X?)=σ2∞(i=1,2,…,n)。根据切比雪夫大数定律，当n趋于无穷时，下列哪个式子几乎肯定成立？

(A)X?=(X?+X?+…+X?)/n趋于μ(依概率)

(B)X?=(X?+X?+…+X?)/n=μ

(C)(X?-μ)2+(X?-μ)2+…+(X?-μ)2趋于nσ2(依概率)

(D)X?=(X?+X?+…+X?)/n在有限次数内必然等于μ

2.设随机变量序列X?,X?,…,X?独立同分布，且E(X?)=0,D(X?)=1(i=1,2,…,n)。记S?=X?+X?+…+X?，根据中心极限定理，当n趋于无穷时，随机变量(S?-n)的分布渐近于：

(A)N(0,1)

(B)N(0,n)

(C)N(n,1)

(D)N(n,n2)

3.对于随机变量序列X?,X?,…,X?，若X?~B(1,p)(i=1,2,…,n)，则根据贝努利大数定律，有：

(A)X?=(X?+X?+…+X?)/n趋于p(依概率)

(B)X?趋于p2(依概率)

(C)X?+X?+…+X?趋于np(依概率)

(D)(X?-p)2+(X?-p)2+…+(X?-p)2趋于np(1-p)(依概率)

4.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则根据中心极限定理，当n趋于无穷时，n次独立重复试验中事件A发生次数Y的分布渐近于：

(A)P(λ)

(B)N(0,λ)

(C)N(n,λ)

(D)N(nλ,nλ(1-λ))

5.下列关于依概率收敛和几乎肯定收敛的说法中，正确的是：

(A)依概率收敛一定意味着几乎肯定收敛

(B)几乎肯定收敛一定意味着依概率收敛

(C)两者没有必然联系

(D)两者总是一致

二、填空题

1.设随机变量序列{X?}依概率收敛于常数a，则lim(n→∞)P(|X?-a|≥ε)=________，其中ε0为任意给定的正数。

2.切比雪夫大数定律的结论是：若随机变量序列X?,X?,…,X?独立同分布，且具有相同的有限方差，则当n趋于无穷时，样本均值X?=(X?+X?+…+X?)/n________它的数学期望（依概率）。

3.贝努利大数定律是关于________依概率收敛于事件发生的频率。

4.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理是贝努利大数定律的深化，它指出当n趋于无穷时，n重伯努利试验中事件A发生次数Y的标准化变量(Y-np)/√(np(1-p))的分布渐近于________分布。

5.独立同分布中心极限定理表明，对于独立同分布且具有有限方差的随机变量序列X?,X?,…,X?，其和S?的标准化变量(S?-nμ)/(√(n)σ)的分布渐近于________分布，其中μ=E(X?),σ2=D(X?)。

三、计算题

1.设随机变量X?,X?,…,X?独立同分布，且E(X?)=1,D(X?)=2(i=1,2,…,5)。

(1)试用切比雪夫不等式估计P(|X?-1|≥1)的上界，其中X?=(X?+X?+…+X?)/5。

(2)根据中心极限定理，说明当n很大时，样本均值X?的分布可以近似为正态分布。并计算P(X?1.1)的近似值（要求写出标准化过程）。

2.一批产品中次品率p为0.1。现从中随机抽取n=100件产品，记次品件数为Y。

(1)试用切比雪夫大数定律估计，当n=100时，次品率Y/100与概率p=0.1的偏差大于0.05的概率的上界。

(2)试用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理计算P(Y≥15)的近似值。

3.假设某城市每天的用电量