2025年高三数学秋季开学摸底考01（全国通用）数学试题（考试版A4）.docxVIP

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（全国通用）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．考试范围：高考全部内容

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，则（????）.

A． B．

C． D．

2．在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，10，5，8，4，2，则这组数据的平均数和分位数分别为（????）

A．6，3 B．5，3 C．5，4 D．6，4

3．在复平面内，对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

4．已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（????）

A．2 B．10 C．11 D．56

5．已知，则（????）

A．2 B．1 C． D．

6．已知函数，若，则（????）

A． B．

C． D．以上都不对

7．工匠们要用一球体雕刻出一正三棱台，正三棱台的顶点都在该球体的球面上，且要求雕刻出的棱台的侧棱长为，上、下底面边长分别为和，则所用球体的半径为（????）

A．7 B． C． D．

8．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（????）

A． B．

C． D．

10．已知双曲线的渐近线与圆相切，，为的左、右焦点，动点在的左支上，则（???）

A． B．为直角三角形

C．周长的最小值为 D．的最小值为2

11．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（????）

A．，函数都为“旋转函数”

B．若函数为“旋转函数”，则

C．若函数为“旋转函数”，则

D．当或时，函数不是“旋转函数”

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．

12．将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是.

13．若向量与不共线也不垂直，且，则.

14．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，.

(1)求的通项公式；

(2)当时，记，求数列的前项和.

16．（15分）

为测试甲、乙两个AI（人工智能）模型解决数学问题的能力，某同学准备了5道数学题让甲、乙同时进行解答，每道题甲答对的概率均为，乙答对的概率均为，且每次解答是否正确相互独立.

(1)若已知前两题中甲至少答对了1题，求前两题甲都答对的概率；

(2)设甲、乙均答对的题数为，求的分布列与数学期望.

17．（15分）

已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点.

(1)证明：；

(2)若M为中点，求二面角的正弦值；

(3)若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值.

18．（17分）

已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点M在C上且在第一象限，，的面积为2.

(1)求C的方程.

(2)A，B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB过定点.

(3)点M关于x轴的对称点为N，分别过M，N作C的两条切线，这两条切线的交点G恰好在x轴上，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN交于点T，求面积的最大值.

19．（17分）

(1)证明：在上恒成立.

(2)若，证明：函数在上恰有1个零点.

(3)试讨论函数在上的零点个数.

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（全国通用）

数学·答案及评分参考

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1

2

3

4

5

6

7

8

C

D

D

A

C

B

D

B

二、选择题：本题共3小题，每