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量子力学期末考试题库（含答案）

选择题（每题3分，共30分）

下列关于波函数的描述，正确的是（）

波函数的物理意义是粒子在空间某点出现的概率

波函数必须满足单值、连续、有限的标准条件

波函数的模的平方表示粒子在空间某点的概率密度

不同粒子的波函数可以任意叠加

一维无限深势阱中，粒子的能量本征值为E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}（n=1,2,3\cdots），其中a为势阱宽度。当n=2时，粒子出现概率最大的位置是（）

A.x=0和x=aB.x=\frac{a}{4}和x=\frac{3a}{4}C.x=\frac{a}{2}D.x=\frac{a}{3}和x=\frac{2a}{3}

已知算符\hat{A}和\hat{B}的对易关系为[\hat{A},\hat{B}]=i\hbar，则下列等式成立的是（）

A.\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}B.\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}=i\hbarC.\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}=i\hbarD.\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}+\hbar

氢原子的基态能量E_1=-13.6\\text{eV}，则其n=3激发态的能量为（）

A.-1.51\\text{eV}B.-3.4\\text{eV}C.-4.53\\text{eV}D.-13.6\\text{eV}

下列关于自旋角动量的说法，错误的是（）

电子的自旋角动量是内禀角动量，与轨道角动量无关

自旋角动量的大小为\sqrt{s(s+1)}\hbar，其中s=\frac{1}{2}

自旋角动量在任意方向的投影只能取\pm\frac{\hbar}{2}

自旋角动量的分量算符满足[\hat{S}_x,\hat{S}_y]=0

定态薛定谔方程的形式为（）

A.i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partialt}=\hat{H}\PsiB.\hat{H}\Psi=E\PsiC.\frac{\partial^2\Psi}{\partialx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V)\Psi=0D.\Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}

若两个力学量对应的算符对易，则这两个力学量（）

一定存在共同的本征函数系B.不可能同时具有确定值

测量结果一定完全相同D.对应的本征值一定相等

一维自由粒子的波函数为\Psi(x,t)=Ae^{i(px-Et)/\hbar}，其中p为动量，E为能量。该波函数描述的是（）

A.束缚态B.定态C.非定态D.归一化波函数

下列现象中，不能用经典力学解释，需用量子力学解释的是（）

A.行星绕太阳的轨道运动B.自由落体运动C.光电效应D.单摆的简谐运动

已知粒子的波函数为\psi(x)=\begin{cases}A\sin(\frac{\pix}{a}),0\leqx\leqa\\0,\text{其他}\end{cases}，则归一化常数A的值为（）

A.\sqrt{\frac{2}{a}}B.\sqrt{\frac{1}{a}}C.\frac{2}{a}D.\frac{1}{a}

填空题（每空2分，共20分）

德布罗意关系指出，微观粒子的波长\lambda与动量p的关系为\lambda=\frac{\hbar}{p}，能量E与频率\nu的关系为E=__________。

算符\hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partialx}是__________力学量对应的算符，其本征方程为\hat{p}_x\psi=p_x\psi，本征函数为\psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ip_xx/\hbar}。

氢原子的能级由主量子数n、角量子数l和磁量子数m_l共同决定，但能量主要由__________决定，其表达式为E_n=-\frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^2n^2}。

粒子在一维势场V(x)中运动，若势场不随时间变化，则粒子的能量E为守恒量，此时波函数可表示为空间部分与时间部分的乘积，即\Psi(x,t)=__________，这种状态称为定态。

自旋角动量的x分量算符\hat{S}_