第4章矩阵对角化线性代数及其应用.ppt

例2与例3中,重特征值所对应的线性无关特征向量的个数是不相同的.第29页，共70页，星期日，2025年，2月5日(1)特征值的性质定理1若?1,?2,…,?n为方阵A的n个特征值，则(i)?1?2…?n=?A?;(ii)?1+?2+…+?n=a11+a22+…+ann=tr(A).2.特征值、特征向量的性质第30页，共70页，星期日，2025年，2月5日定理2n阶方阵A与AT有相同的特征值.证由于(?E–A)T=(?E)T–AT=?E–AT,所以??E–A?=?(?E–A)T?=??E–AT?即A与AT有相同的特征值.定理3若?为方阵A的特征值，则(i)a?为aA(a为常数)的一个特征值;(ii)?k为Ak(k为正整数)的一个特征值;(iii)若f(x)为x的多项式,则f(?)为f(A)的一个特征值；(iv)若A可逆,则?-1为A-1的一个特征值;?-1?A?为A*的一个特征值.第31页，共70页，星期日，2025年，2月5日定理3的证明第32页，共70页，星期日，2025年，2月5日例4已知3阶方阵A的特征值为1，2，-3.求

(1)2A的特征值；(2)A–1的特征值;(3)tr(A),|A|;

(4)A*的特征值;(5)A2的特征值;

(6)B=A2–2A+E的特征值及|B|.解由特征值的性质，得(1)2A的特征值为2，4，–6；(2)A–1的特征值为1，1/2，–1/3;(3)tr(A)=1+2+(–3)=0,|A|=1?2?(-3)=–6;(4)A*的特征值为–6，–3，2;(5)A2的特征值为1，4，9;(6)B=A2–2A+E的特征值为?2–2?+1即0，1，16；|B|=0.第33页，共70页，星期日，2025年，2月5日(2)特征向量的性质定理4方阵A的对应于不同特征值的特征向量线性无关.证设?1,?2,···,?m为方阵A的m个不同特征值,x1,x2,···,xm为相应的特征向量.当m=1时,x1≠0(单个的非零向量线性无关),定理成立.假设对m－1不同的特征值定理成立，现证对m个不同特征值定理也成立.设k1x1+k2x2+···+kmxm=0(*)用方阵A左乘上式两端,得k1Ax1+k2Ax2+···+kmAxm=0第34页，共70页，星期日，2025年，2月5日再利用Axi=?ixi(i=1,2,···,m),得k1?1x1+k2?2x2+···+km?mxm=0(**)(**)-?m(*),得k1(?1－?m)x1+k2(?2－?m)x2+···+km-1(?m-1－?m)xm-1=0由归纳假设,x1,x2,…xm-1线性无关.因而ki(?i－?m)=0i=1,2,…,m-1但(?i－?m)?0(i=1,2,···,m-1),于是ki=0(i=1,2,···,m-1).此时式(*)变成kmxm=0,而xm≠0，所以km=0.这就证明了x1,x2,···,xm线性无关.??第35页，共70页，星期日，2025年，2月5日定理5若?1、?2是方阵A的两个不同的特征值，p1,p2,···,ps和q1,q2,···,qt分别为A的对应于?1和?2的线性无关特征向量，则向量组p1,p2,···,ps,q1,q2,···,qt线性无关.例如例2中?1=-1，?2=?3=2对应的特征向量第36页，共70页，星期日，2025年，2月5日关于对应于同一个特征值的特征向量间的关系，有定理6若?0是方阵A的k重特征值，则对应于?0的线性无关特征向量个数不超过k个.例如教材P178-179例4.4.2,例4.4.3第37页，共70页，星期日，2025年，2月5日第4.3节相似矩阵相似是矩阵间的一种重要关系，在理