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人教版2024高中数学第四章指数函数与对数函数(二十七)

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单选题

1、已知，则（????）

A．B．C．D．

答案：A

分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．

［方法一］：（指对数函数性质）

由可得，而，所以，即，所以.

又，所以，即，

所以.综上，.

［方法二］：【最优解】（构造函数）

由，可得．

根据的形式构造函数?，则，?

令，解得?，由?知?.

?在??上单调递增，所以?，即??，?

又因为?，所以?.

故选：A.

【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．

2、已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（????）

A．B．C．D．

答案：A

分析：由题意得，函数与函数有三个不同的交点，结合图象可得出结果.

解：由题意可得，直线与函数至多有一个交点，

而直线与函数至多两个交点，

函数与函数有三个不同的交点，

则只需要满足直线与函数有一个交点

直线与函数有两个交点即可，

如图所示，与函数的图象交点为，，

故有.

而当时，直线和射线无交点，

故实数的取值范围是.

故选：A.

3、设，且，则（????）

A．B．10C．20D．100

答案：A

分析：根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.

由，可得，，

由换底公式得，，

所以，

又因为，可得．

故选：A.

4、已知实数，且，则（????）

A．B．C．D．

答案：B

分析：对，利用换底公式等价变形，得，结合的单调性判断，同理利用换底公式得，即，再根据对数运算性质得，结合单调性，?，继而得解.

由，变形可知，

利用换底公式等价变形，得，

由函数在上单调递增知，，即，排除C，D；

其次，因为，得，即，

同样利用的单调性知，，

又因为，得，即，所以.

故选：B.

5、若函数是奇函数，则a的值为（????）

A．1B．－1

C．±1D．0

答案：C

分析：根据函数奇函数的概念可得，进而结合对数的运算即可求出结果.

因为是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即恒成立，所以，即?恒成立，所以，即．

当时，，定义域为，且，故符合题意；

当时，，定义域为，且，故符合题意；

故选：C.

6、若，则（????）

A．B．C．D．

答案：B

分析：设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.

设，则为增函数，因为

所以，

所以，所以.

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以C、D错误.

故选：B.

【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.

7、已知，，都是大于1的正数，，，，，则的值为（???）

A．B．C．D．

答案：B

分析：根据换底公式将，，，化为，，，再根据同底数的对数的加减法运算即可得解.

解：因为，，，

所以，，，

即，

∴，

∴．

故选：B．

8、已知，则函数的图像必定不经过（????）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

答案：A

解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.

因为，故的图象经过第一象限和第二象限，

且当越来越大时，图象与轴无限接近.

因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.

故选：A．

9、已知函数则函数的零点个数为（????）

A．4B．5C．6D．7

答案：D

分析：的零点个数，即方程的根的个数，设，根据的图像得到的值，在研究的交点个数，从而得到答案.

函数，

令，得，

所以的零点个数，即方程的根的个数，

设，则.

作出函数的图像，如图所示，结合图像可知，

方程有3个实根，，，

则有1个解，有3个解，

有3个解.

故方程有7个解，

即函数有7个零点，

故选

小提示：本题考查复合函数的零点问题，函数与方程，分段函数的图像与性质，属于中档题.

10、已知，则（????）

A．25B．5C．D．

答案：C

分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．

因为，，即，所以．

故选：C.

多选题

11、已知函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（????）

A．若，则在内至少有一个零点

B．若，则在内没有零点

C．若在内没有零点，则必有

D．若在内有唯一零点，，则在上是单调函数

答案：AC

分析：根据零点存在定理逐一判断即可．

因为在，上连续，

．（1），由零点存在定理可知，在内至少有一个零点，故正确；

．当时，满足（1），但在内有一个零点，故错误；

．在内没有零点，则必有（1）等价于（1），则在内有零点，由零点存在定